Az 1980-as évek egyik legkiemelkedőbb játékosa volt. Játszott a kor legsikeresebb jugoszláv csapatában, a Metaloplastika Šabacban, amelynek játékosaként hét bajnoki címet szerzett, emellett kétszer (1985, 1986) a Bajnokok ligáját is megnyerte. Ezután öt szezont töltött a spanyol rekordbajnok FC Barcelonánál, amellyel a spanyol bajnoki címek mellett egyszer 1991-ben újra Bajnokok ligája győztes lett. Az 1984-es olimpián pályára lépett mind a hat mérkőzésen, összesen 28 gólt szerzett, és aranyérmes lett.
Edzői pályafutását 1995-ben kezdte korábbi csapatánál, a Metaloplastika Šabacnál. 2000-ben lett a spanyol BM Ciudad Real edzője, amellyel 2002-ben bejutott a Kupagyőztesek Európa-kupája döntőjébe. A döntőt a német SG Flensburg-Handewittel vívták, és az első mérkőzés lefújása után kialakult verekedésbe Vujović is belekeveredett. A dulakodásban megrúgta az ellenfél játékosát, Lars Christiansent, illetve egy másikat, Lars Krogh Jeppesent földre vitte.[1] Az esetről készült felvételek alapján az EHF Vujovićot 2004 nyaráig eltiltotta, és 9500 eurós büntetést szabott ki rá, és csapata is felmondott neki.[2]
A 2000-es évek közepén ő irányította Szerbia és Montenegró felnőtt és junior válogatottját is. A juniorokat 2005-ben világbajnoki címig vezette. A felnőttekkel elért legjobb eredménye Európa-bajnokságon 2006-ban egy hatodik hely, világbajnokságon pedig a 2005-ös ötödik helyezés. A 2006-os Európa-bajnokság középdöntőjének utolsó fordulójában a horvát válogatott volt Szerbia és Montenegró ellenfele. Szerbia és Montenegró válogatottja számára tét nélküli volt a mérkőzés, mivel semmiképp nem juthattak tovább, míg a horvát válogatott egy esetleges győzelemmel csoportelső is lehetett. Sterbik Árpád, Szerbia és Montenegró játékosa azt állította, hogy a mérkőzés előtti napon Vujović arra kérte játékosait, hogy veszítsék el a számukra már tét nélküli mérkőzést, mert ezt a szívességet a jövőben a horvátok viszonozhatják majd. Másnap a mérkőzés előtt az öltözőben Zoran Mičović, a Szerbiai Kézilabda-szövetség elnöke is erre kérte a játékosokat. A játékosok ezt visszautasították, de végül mégis vereséget szenvedtek.[3]
2006-tól három évig a RK Vardar Szkopje trénere volt. 2008-ban a Kadetten Schaffhausen ellen vívott Kupagyőztesek Európa-kupája párharcot csapata. Az első mérkőzést hazai pályán 33–27-re nyerte csapata, a visszavágón viszont miután három játékosát is piros lappal kiállították, 25–33-ra elvesztették, így 60–58-as összesítéssel kiestek a kupából. A mérkőzés után Vujović a játékvezetőkre támadt, egyiküket meg is ütötte. Tettéért egyéves eltiltást és 3000 eurós pénzbírságot kapott.[4]
2022-ben az iráni válogatott szövetségi kapitánya lett, majd 2023-tól a válogatottba legtöbb játékost adó Sepahan S.C. vezetőedzőjévé is kinevezték. A 2023-as világbajnokságon a csoportkörben Chilét legyőzve továbbjutottak a csoportból, a középdöntőben már újabb pontokat nem gyűjtöttek és végül a 24. helyen végeztek.[7] 2023 októberében a térségben uralkodó politikai feszültségek miatt lemondott posztjáról.[8] 2024 februárjában átvette a horvát RK Nexe Našice irányítását.[9] Áprilisban az RK Zagreb elleni bajnoki mérkőzésen egy vitatott szituáció ellen hevesen hevesen tiltakozott a kispadon. Az indulatok csillapítása érdekében a mérkőzés delegátusa is közbelépett, akit Vujović egyik játékosa, Marko Bezjak megütött emiatt zúzódásokat szenvedett, és kórházba kellett szállítani. A mérkőzést félbeszakították és többek között Vujović ellen is fegyelmi eljárást indított a Horvát Kézilabda-szövetség.[10] Két héttel később újabb pontot vesztett csapata a Poreč ellen hazai pályán, amiután benyújtotta lemondását és ezt klubja el is fogadta.[11]
.svg){kind=small}
.svg){kind=small}
