Valós analízis

Az első 4 részletösszege a négyszögjel Fourier sorának. A Fourier analízis a valós analízis fontos eszköze.

A valós analízis a matematika azon ága, amely a valós függvények analízisével foglalkozik. Ezen függvények analitikus tulajdonságait vizsgálja, mint például a konvergencia, határérték, folytonosság és egyéb tulajdonságok.

Területei

A valós számok konstrukciója

A valós számokat többféleképpen is definiálhatjuk mint rendezett testet. A "mesterséges" módszer az axiómák megadása. Ugyanakkor bizonyos konstrukciók a racionális számok tulajdonságain alapulnak.

Sorozatok

Az függvény az pontnál balról a negatív végtelenbe, jobbról pedig a pozitív végtelenbe tart.

A sorozatokat úgy definiálhatjuk, mint függvényeket, amelyek alaphalmaza egy megszámlálható és teljesen rendezett halmaz, például a természetes számok halmaza. A valós analízisben a sorozat olyan függvény, amely alaphalmaza a természetes számok egy részhalmaza, a képhalmaza pedig a valós számok.[1]

Határérték

Az sorozatból képzett végtelen sor összege 1, amennyiben 1-től kezdjük az indexelést.

Egy függvény vagy sorozat határértéke egy olyan érték, amelyet a függvény vagy sorozat "tetszőlegesen megközelít", ahogy a függvény argumentuma megfelelő mértékben megközelít egy megadott értéket.[2] Ha az végtelen sorozat konvergens és -hoz tart, a következő jelölést alkalmazzuk: . [3]
A függvények határértéke egy adott pontban is értelmezhető, melynek jelölése az függvény pontjában , ahol a függvény -ban vett határértéke. Beszélhetünk egyoldali határértékről is: egy függvény egy adott pontjában jobb oldali határértékkel rendelkezik, ha az adott ponthoz jobbról () közelítve . Hasonló módon értelmezhető a bal oldali határérték is. [4]

Végtelen sorok és hatványsorok

A függvény nem rendelkezik egyoldali határértékekkel.

Az végtelen valós sorozat részletösszegeiből képzett sorozat a végtelen sor. [5] Egy végtelen sor konvergens, és az összege az valós szám, ha az -edik részletösszegből képzett valós sorozat konvergens és határértéke . [6] A végtelen sorok konvergenciájának vizsgálatához használt eszközök például a d'Alembert-féle hányadoskritérium [7] és a gyökkritérium [8] . Geometriai sorok esetén pedig , ha . [9] Felmerül tehát a kérdés, hogy egy adott függvény felírható-e végtelen sorként.
Amennyiben egy függvény megadható az alakban, ahol a hatványsor középpontja, az hatványsorba fejthető. [10] A hatványsorok középpontja körüli konvergenciasugár meghatározásához a Cauchy–Hadamard-tétel használható. [11] Egy arra alkalmas függvény hatványsorba fejtésének egy módja annak Taylor-sorrá alakítása. [12]

Folytonosság

Intuitív módon fogalmazva egy valós függvény folytonos, ha a függvény egy Descartes-féle koordináta-rendszerben ábrázolva egyetlen összefüggő vonallal ábrázolható. Pontosabban: egy függvény folytonos az értelmezési tartományának elemét képező pontban, ha . Ha az értelmezési tartományának egy pontjában ez a feltétel nem valósul meg, azt mondjuk, hogy ott a függvénynek szakadása van. Egy függvény csak akkor folytonos, ha az értelmezési tartományának minden pontjában folytonos. [13]
A valós analízis egyik legfontosabb tétele a Bolzano-tétel, amely kimondja, hogy egy intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felvevő, folytonos függvénynek van zérushelye. [14] Egy másik igen fontos tétel a Weierstrass-szélsőértéktétel, amely szerint ha az függvény folytonos az intervallumon, akkor az ezen az intervallumon felveszi a minimumát és maximumát. [15]

Differenciálás

A derivált a függvénygörbe érintőjének meredeksége, azaz az érintő a vízszintes tengellyel bezárt szögének tangense.

Egy függvény deriváltja az pontban a következő határérték:

Ha a derivált mindenhol létezik, akkor a függvény differenciálható. A magasabb deriváltak a deriváltak deriváltjaiként értelmezhetőek. [16] Mivel az derivált az függvényhez az pontban húzott érintő meredeksége, segítségével meghatározható a függvény egy adott pontjában vett érintőjének egyenlete. [17] Az első derivált továbbá például a függvény lokális szélsőértékeinek és értékkészletének meghatározásához is használható. A második derivált segítségével pedig a függvény konvex és konkáv részei és inflexiós pontjai is meghatározhatóak. A derivált a L’Hôpital-szabály felhasználásával bizonyos esetekben a határértékszámításkor is alkalmazható. [18]
A függvényeket csoportosíthatjuk a differenciálhatóságuk alapján. Legyen az összes folytonos függvény osztálya, pedig az összes olyan differenciálható függvény osztálya, amelyek deriváltjai folytonosak. Vagyis a -beli függvények pontosan azok a függvények, amelyek differenciálhatóak, és a deriváltjuk eleme -nak. Általánosítva, legyen rekurzió segítségével definiálva a következőképpen: valamely pozitív egész -ra azon differenciálható függvények osztálya, amelyeknek deriváltja eleme -nek. Minden részhalmaza -nek. jelöli az összes osztály metszetét. részhalmaza -nek.

A deriválás és a teljes függvényvizsgálat

Egy függvény első deriváltjának segítségével meghatározhatjuk a függvény monotonitását és szélsőértékeit. Ha az folytonos és differenciálható az zárt intervallumon, és minden belső pontjában , akkor az az intervallumon szigorúan monoton nő. Ugyanígy, ha folytonos és differenciálható az zárt intervallumon, és minden belső pontjában , akkor az az intervallumon szigorúan monoton csökken. Azokban a pontokban, ahol az imént meghatározott függvényeknél , előfordulhat, hogy lokális szélsőértéket találunk. Azokban a pontokban, ahol az szigorúan monoton növőből szigorúan monoton csökkenővé válik, lokális maximumról, azokban pedig, ahol szigorúan monoton csökkenőből szigorúan monoton növővé válik, lokális minimumról beszélhetünk. [19] A másodrendű feltétel alapján ha az legalább kétszer differenciálható függvényre teljesül, hogy egy pontjában és , akkor a függvénynek az adott pontban lokális minimuma van. A lokális maximum hasonlóan értelmezhező, de akkor . [20]
A második derivált segítségével meghatározható, hogy a függvény mely intervallumokban konvex és konkáv, továbbá hogy hol találhatóak az inflexiós pontjai. Ha az folytonos és kétszer differenciálható egy intervallumon belül, továbbá az intervallum minden belső pontjában , akkor az konvex az adott az intervallumon. Amennyiben ugyanezen alapfeltételek mellett az teljesül, az konkáv az adott intervallumon. Azokban a pontokban, ahol és a függvény konvexből konkávba vagy konkávból konvexbe fordul, a függvénynek inflexiós pontja van. [21]

Integrálás

Példa határozott integrálra
Egy függvény határozott integrálja úgy értelmezhető, mint a függvény grafikonja és a vízszintes tengely által bezárt előjeles területösszeg.

Riemann-integrálás

A Riemann-integrált a Riemann-összegek segítségével definiáljuk. Legyen a valós számok egy zárt intervalluma. Ekkor ezen intervallum megcímkézett particionálása egy véges sorozat,

Ez a partíció osztja részintervallumra, -ra az eredeti intervallumot. Egy függvény Riemann-összege egy adott címkézett partíción:

Vagyis azon téglalapok területeinek összege, amelyek alapjai a particionálás által létrehozott részintervallumok és magasságuk a függvény részintervallumokhoz tartozó kijelölt pontokban vett értékei: . pedig az -edik részintervallum hossza: . Egy függvény Riemann-integrájla az intervallumon , ha bármely -hoz létezik egy , úgy, hogy bármely címkézett partíciója, amelynek finomsága (vagyis a legnagyobb részintervallum mérete) vagy annál kisebb, akkor:

Ha a partíció címkéi a függvény adott intervallumon való maximum (vagy minimum) értékének helyei, akkor az ehhez a partícióhoz tartozó Riemann-összeg a felső (és alsó) Darboux-összeg, amely rámutat a Riemann-integrál és a Darboux-integrál szoros kapcsolatára. [22] [23]

Lebesgue-integrálás

A Lebesgue-integrálás a Riemann-integrálás kiterjesztése a nem Riemann-integrálható függvényekre, illetve kiterjeszti azt a halmazt is, amelyeken az integrálható függvények definiálhatóak.

Határozatlan integrálás

Az analízis alaptétele (animáció).

A határozatlan integrálás a deriválás fordított művele. Általános jelöléseket használva az függvény az egy adott intervallumon értelmezett függvény határozatlan integrálja (más néven primitív függvénye), ha az teljes értelmezési tartományában. Mivel egy hozzáadott konstans deriváltja mindig nulla, a határozatlan integrálokhoz mindig hozzá kell adnunk egy valós számot. [24] A határozatlan integrál jelölése:

A Newton-Leibniz-formula

Az analízis alaptétele alapján a folytonos függvény határozott integrálja kiszámíható a függvény primitív függvényének ismeretében

[25]

Fontos tételek

Az analízis fontos tételei például a Bolzano-Weierstrass és a Heine-Borel tétel; a Bolzano-tétel a középértéktételek, és az analízis alaptétele (Newton-Leibniz-tétel).

A valós analízis számos fogalma általánosítható a valós térről általánosabb metrikus terekre vagy éppen mérték-terekre, Banach terekre, és Hilbert terekre.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Real analysis című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

  1. Gaughan, Edward. 1.1 Sequences and Convergence, Introduction to Analysis. AMS (2009) 
  2. Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals, 6th, Brooks/Cole (2008). ISBN 0-495-01166-5 
  3. Stover, Christopher: Határérték (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  4. Dawkins, Paul: The Definition Of The Limit. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
  5. Infinite series. Encyclopaedia Britannica. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
  6. Weisstein, Eric W: Sorok (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  7. Kudryavtsev, L. D.: D'Alembert criterion (convergence of series). Encyclopedia of Mathematics. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
  8. Weisstein, Eric W: Gyökkritérium (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  9. Ivanova, O. A.: Geometric progression. Encyclopedia of Mathematics. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
  10. Bornemann, Folkmar; Weisstein, Eric W: Hatványsorok (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  11. Grinshpan, Anatolii: Cauchy-Hadamard formula. [2019. január 31-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
  12. Kudryavtsev, L. D.: Taylor series. Encyclopedia of Mathematics. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
  13. Weisstein, Eric W: Folytonos függvény (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  14. Weisstein, Eric W: Bolzano-tétel (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  15. Solomentsev, E. D.: Weierstrass theorem. Encyclopedia of Mathematics. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
  16. Weisstein, Eric W: Derivált (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  17. Dawkins, Paul: Interpretation Of The Derivative. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
  18. Kouba, D. A.: The Plausibility of L'Hopital's Rule, The 0/0 Case. [2019. január 31-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
  19. Dawkins, Paul: Minimum And Maximum Values. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
  20. Tallos, Péter: Másodrendű feltételek. Matematika előadások pp. 44-45. [2019. január 31-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
  21. Dawkins, Paul: The Shape of a Graph, Part II. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
  22. Weisstein, Eric W: Riemann-integrál (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  23. Karátson, János: II. Határozott integrál (Riemann-integrál).. Az előadás anyagának törzsrésze pp. 3-4. [2019. január 31-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2019. január 31.)
  24. Stover, Christopher; Weisstein, Eric W: Integrál (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  25. Kudryavtsev, L. D.: Newton-Leibniz formula. Encyclopedia of Mathematics. (Hozzáférés: 2019. január 31.)

Read other articles:

Artikel ini memerlukan pemutakhiran informasi. Harap perbarui artikel dengan menambahkan informasi terbaru yang tersedia. Lokasi konflik yang sedang berlangsung di seluruh dunia; diperbarui Maret 2024.   Perang besar, dengan lebih dari 10.000 kematian tahun ini atau sebelumnya   Perang, dengan lebih dari 1,000–9,999 kematian tahun ini atau sebelumnya   Konflik kecil, dengan lebih dari 100–999 kematian tahun ini atau sebelumnya   Pertempuran dan bent...

 

Artikel ini bukan mengenai Louis Delhaize Group, grup ritel lain yang berkantor pusat di Charleroi, Belgia. Artikel ini terlalu bergantung pada referensi dari sumber primer. Mohon perbaiki artikel ini dengan menambahkan sumber sekunder atau tersier. (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini) Delhaize Le Lion / De LeeuwJenisPerseroan terbatas / Société anonymeIndustriRitelNasibDigabung dengan AholdPenerusAhold DelhaizeDidirikan1867; 156 tahun lalu (1867)Ditutup2...

 

M. Enthieh Mudakir (lahir 24 April 1963) adalah sastrawan berkebangsaan Indonesia. Namanya dikenal di kancah kesusasteraan Indonesia melalui karya-karyanya berupa cerita pendek dan puisi yang dipublikasikan di sejumlah surat kabar antara lain Suara Merdeka, Kedaulatan Rakyat, Pikiran Rakyat, Swadesi, Koran Merapi, Minggu Pagi, dan lain-lain. Enthieh merupakan salah satu penyair yang puisi-puisinya terangkum dalam antologi Dari Negeri Poci.[1][2] Latar belakang Enthieh Mudakir ...

American television news channel For MSNBC's editorial management and division parent, see NBC News. Television channel MSNBCCountryUnited StatesBroadcast areaUnited States and CanadaHeadquarters30 Rockefeller PlazaManhattan, New York CityProgrammingLanguage(s)EnglishPicture format1080i HDTV(downscaled to letterboxed 480i for the SDTV feed)OwnershipOwnerNBCUniversal (Comcast)ParentNBCUniversal News GroupSister channelsCNBCCNBC WorldNBCHistoryLaunchedJuly 15, 1996 (1996-07-15)Re...

 

Chemical compound AM-1235Legal statusLegal status CA: Schedule II DE: NpSG (Industrial and scientific use only) UK: Under Psychoactive Substances Act US: Schedule I Identifiers IUPAC name 1-[(5-Fluoropentyl)-6-nitro-1H-indol-3-yl]-(naphthalen-1-yl)methanone CAS Number335161-27-8 NChemSpider26633899 NUNII2HV9AH611MCompTox Dashboard (EPA)DTXSID10187159 Chemical and physical dataFormulaC24H21FN2O3Molar mass404.441 g·mol−13D model (JSmol)Interactive image SMI...

 

Artikel ini perlu dikembangkan agar dapat memenuhi kriteria sebagai entri Wikipedia.Bantulah untuk mengembangkan artikel ini. Jika tidak dikembangkan, artikel ini akan dihapus. Bandar Udara Bolaang MongondowBolaang Mongondow AirportPemandangan Bandara Bolaang Mongondow dari UdaraIATA: noneICAO: WAMIInformasiJenisSipilPemilikDirektorat Jenderal Perhubungan UdaraPengelolaSatuan Pelaksana Bandar Udara Bolaang MongondowMelayaniBolaang Mongondow RayaLokasiDesa Lalow, Kecamatan Lolak, Bolaang Mongo...

Jordan Bowery Informasi pribadiNama lengkap Jordan Nathaniel BoweryTanggal lahir 2 Juli 1991 (umur 32)Tempat lahir Nottingham, InggrisTinggi 1,85 m (6 ft 1 in)Posisi bermain PenyerangInformasi klubKlub saat ini Doncaster Rovers(pinjaman dari Aston Villa)Nomor 34Karier junior Derby County2007–2008 ChesterfieldKarier senior*Tahun Tim Tampil (Gol)2008–2012 Chesterfield 83 (10)2009–2010 → Barrow (pinjaman) 4 (0)2012– Aston Villa 15 (0)2014– → Doncaster Rovers (p...

 

GLRX3 التراكيب المتوفرة بنك بيانات البروتينOrtholog search: PDBe RCSB قائمة رموز معرفات بنك بيانات البروتين 2DIY, 2WZ9, 2YAN, 3ZYW المعرفات الأسماء المستعارة GLRX3, GLRX4, GRX3, GRX4, PICOT, TXNL2, TXNL3, glutaredoxin 3 معرفات خارجية الوراثة المندلية البشرية عبر الإنترنت 612754 MGI: MGI:1353653 HomoloGene: 4769 GeneCards: 10539 علم الوجود الجيني...

 

Министерство природных ресурсов и экологии Российской Федерациисокращённо: Минприроды России Общая информация Страна  Россия Юрисдикция Россия Дата создания 12 мая 2008 Предшественники Министерство природных ресурсов Российской Федерации (1996—1998)Министерство охраны...

Министерство природных ресурсов и экологии Российской Федерациисокращённо: Минприроды России Общая информация Страна  Россия Юрисдикция Россия Дата создания 12 мая 2008 Предшественники Министерство природных ресурсов Российской Федерации (1996—1998)Министерство охраны...

 

Численность населения республики по данным Росстата составляет 4 003 016[1] чел. (2024). Татарстан занимает 8-е место по численности населения среди субъектов Российской Федерации[2]. Плотность населения — 59,00 чел./км² (2024). Городское население — 76,72[3] % (20...

 

Голубянки Самец голубянки икар Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ПервичноротыеБез ранга:ЛиняющиеБез ранга:PanarthropodaТип:ЧленистоногиеПодтип:ТрахейнодышащиеНадкласс:ШестиногиеКласс...

2016年美國總統選舉 ← 2012 2016年11月8日 2020 → 538個選舉人團席位獲勝需270票民意調查投票率55.7%[1][2] ▲ 0.8 %   获提名人 唐納·川普 希拉莉·克林頓 政党 共和黨 民主党 家鄉州 紐約州 紐約州 竞选搭档 迈克·彭斯 蒂姆·凱恩 选举人票 304[3][4][註 1] 227[5] 胜出州/省 30 + 緬-2 20 + DC 民選得票 62,984,828[6] 65,853,514[6]...

 

الأوضاع القانونية لزواج المثليين زواج المثليين يتم الاعتراف به وعقده هولندا1 بلجيكا إسبانبا كندا جنوب أفريقيا النرويج السويد المكسيك البرتغال آيسلندا الأرجنتين الدنمارك البرازيل فرنسا الأوروغواي نيوزيلندا3 المملكة المتحدة4 لوكسمبورغ الولايات المتحدة5 جمهورية أيرلندا ...

 

Olympics event Main article: Badminton at the 2020 Summer Olympics Men's singlesat the Games of the XXXII OlympiadVenueMusashino Forest Sport PlazaDates24 July – 2 August 2021Competitors42 from 36 nationsMedalists Viktor Axelsen  Denmark Chen Long  China Anthony Sinisuka Ginting  Indonesia← 2016 Rio2024 Paris → Badminton at the2020 Summer OlympicsList of badminton playersQualificationSinglesmenwomenDoublesmenwomenmixedvte The men's singles badm...

Railway station in Melbourne, Australia WestgarthPTV commuter rail stationSouth-west bound view from Platform 1, March 2018General informationLocationEvans Crescent,Northcote, Victoria 3070City of DarebinAustraliaCoordinates37°46′51″S 144°59′57″E / 37.7807°S 144.9993°E / -37.7807; 144.9993Owned byVicTrackOperated byMetro TrainsLine(s)HurstbridgeDistance7.55 kilometres fromSouthern CrossPlatforms2 sideTracks2Connections Bus Tram ConstructionStructure typeGro...

 

Chemical compound LafutidineClinical dataAHFS/Drugs.comInternational Drug NamesRoutes ofadministrationOralATC codeA02BA08 (WHO) Identifiers IUPAC name 2-(furan-2-ylmethylsulfinyl)-N-[(Z)-4-[4-(piperidin-1-ylmethyl)pyridin-2-yl]oxybut-2-enyl]acetamide CAS Number206449-93-6 YPubChem CID5282136ChemSpider4445337 NUNII49S4O7ADLCKEGGD01131 YCompTox Dashboard (EPA)DTXSID0046434 ECHA InfoCard100.118.935 Chemical and physical dataFormulaC22H29N3O4SMolar mass431.55 g·mol�...

 

Questa voce sull'argomento hockeisti su ghiaccio canadesi è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Adam FooteAdam Foote nel 2008Nazionalità Canada Altezza188 cm Peso100 kg Hockey su ghiaccio Palmarès Competizione Ori Argenti Bronzi Olimpiadi 1 0 0 World Cup 1 1 0 Vedi maggiori dettagli  Modifica dati su Wikidata · Manuale Adam David Vernon Foote (Whitby, 10 luglio 1971) è un e...

Jesuit university in Milwaukee, Wisconsin, US Marquette UniversityFormer namesMarquette College (1881–1907)MottoAd maiorem Dei gloriam (Latin)Motto in EnglishFor the greater glory of GodTypePrivate research universityEstablishedAugust 28, 1881; 142 years ago (August 28, 1881)FounderJohn Martin Henni (first Bishop of the diocese of Milwaukee)Religious affiliationCatholic (Jesuit)Academic affiliationsACCUAJCUCUMUNAICUWAICUEndowment$916.8 million (2023)[1]PresidentKim...

 

مهرجان عموم أثينامعلومات عامةالتكرر 4 سنة في شهر Hekatombaion (en) البلد أثينا الكلاسيكية تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات مهرجان عموم أثينا (باليونانية Παναθήναια) كان احتفالا دينيا واجتماعيا لمدينة أثينا.[1][2][3] و وفقا للتقاليد، تأسست من قبل ملك أسطوري إريكتوني...