Lagrange-féle középértéktétel

Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.

A Lagrange-féle középértéktétel a matematika, ezen belül az analízis egyik fontos tétele.

A tétel állítása

Ha f folytonos függvény a zárt $[a,b]$ intervallumban és differenciálható a nyílt $(a,b)$ intervallumban, akkor van olyan $a<c<b$ szám, amire

f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}

teljesül.

Ez körülbelül azt jelenti: ha húzunk egy vonalat a két végpont között, akkor lesz legalább egy pont a függvényen, aminek a deriváltja párhuzamos ezzel a vonallal.

Egy példán keresztül egyszerűbb megérteni. Autóval utaztunk egyik városból egy másikba és az átlagsebességünk 100 km/óra volt. Ahhoz, hogy pontosan ennyi legyen az átlagsebesség, vagy konstans 100 km/órával kellett mennünk, vagy pedig néha gyorsabban, néha lassabban. Ha lassabban, akkor később gyorsabban is kell mennünk, hogy az átlagsebesség valóban 100 km/óra legyen.

Ez a tétel azt mondja ki, hogy valamikor az út során kell lennie legalább egy pontnak, amikor a kocsi pontosan 100 km/órával ment - az átlagsebességével.

Bizonyítás

A tételt visszavezetjük speciális esetére, a Rolle-tételre. Legyen $a\leq x\leq b$ -re

g(x)=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}x.

A g függvény nyilván folytonos az $[a,b]$ intervallumban és a belső pontokban

g'(x)=f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.

Továbbá

g(b)-g(a)=f(b)-f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(b-a)=0.

Alkalmazhatjuk tehát Rolle tételét és kapjuk, hogy van olyan c pont amire $g'(c)=0$ , azaz

f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.

Általánosítás

A Lagrange-féle középértéktétel általánosítása a Cauchy-féle középértéktétel.

A tétel magasabb dimenziókban

Legyen $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ az $(a,b)$ szakaszon differenciálható függvény ( $a,b\in \mathbb {R} ^{n}$ esetén az $(a,b)$ szakaszon az $S=\{a+t(b-a)~|~t\in (0,1)\}$ pontokat értjük). Ekkor van olyan $c\in S$ , amelyre

f(b)-f(a)=\langle \operatorname {grad} ~f(c),b-a\rangle

teljesül.

Bizonyítás

Legyen $g\left(t\right)=f(a+t(b-a)),$ egy $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ függvény. Mivel $g$ differenciálható a $(0,1)$ intervallumon, ezért alkalmazhatjuk a tétel 1 dimenziós változatát, azaz $\exists \theta \in (0,1)$ , hogy

g\left(1\right)-g(0)=g'(\theta ).

g definícióját beírva:

g(1)-g(0)=f(b)-f(a)=g'(\theta )=\langle \operatorname {grad} ~f(a+\theta (b-a)),b-a\rangle

$c:=a+\theta (b-a)$ jelöléssel kapjuk a bizonyítandó állítást.

Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

Read other articles:

Eyemo

Kamera Bell & Howell Eyemo Eyemo adalah sebuah kamera film 35 mm yang dibuat oleh Bell & Howell Co. dari Chicago. Latar belakang Dirancang dan mula-mula dibuat pada tahun 1925, produk tersebut selama bertahun-tahun menjadi kamera film 35 mm paling diandalkan, memiliki kapasitas film 100 rekaman. Ukurannya yang kecil dan ringan menjadikannya pilihan favorit bagi jurukamera perang dan newsreel (produk tersebut dipakai sepanjang Perang Dunia II dan Perang Vietnam, Departemen Perang ...

القيادة العسكرية الأمريكية في أوروبا

القيادة العسكرية الأمريكية في أوروبا الدولة ألمانيا الولايات المتحدة الإنشاء 1 أغسطس 1952 جزء من وزارة الدفاع الأمريكية الموقع الرسمي الموقع الرسمي القادة القائد الشرفي CCM Phillip L. Easton، القوات الجوية الأمريكية تعديل مصدري - تعديل منطقة مسؤولية القيادة العسك�...

South Korea at the 1992 Summer Olympics

Sporting event delegationSouth Korea at the1992 Summer OlympicsIOC codeKORNOCKorean Olympic CommitteeWebsitewww.sports.or.kr (in Korean and English)in BarcelonaCompetitors226 (154 men, 72 women) in 24 sportsFlag bearer Kim Tae-hyunMedalsRanked 7th Gold 12 Silver 5 Bronze 12 Total 29 Summer Olympics appearances (overview)19481952195619601964196819721976198019841988199219962000200420082012201620202024 South Korea competed as Korea at the 1992 Summer Olympics in Barcelona, Spain. 226 c...

War economy

Actions taken by a state to mobilize its economy for war production An American poster from World War I explaining sugar rations. Sugar was being conserved to provide for allied countries in Europe and support the war effort. A war economy or wartime economy is the set of contingencies undertaken by a modern state to mobilize its economy for war production. Philippe Le Billon describes a war economy as a system of producing, mobilizing and allocating resources to sustain the violence. Some me...

Orang Iberia

Putri Elx dari L'Alcúdia, Elche, Spanyol, pada abad ke-4 SM. Orang Iberia (bahasa Latin: Hibērī, dari Yunani: Ίβηρες, Iberes) adalah sejumlah suku bangsa di pesisir timur dan selatan Semenanjung Iberia yang disebutkan oleh sumber-sumber Yunani dan Romawi Kuno (seperti Hekataios dari Miletos, Avienus, Herodotus dan Strabo). Orang Romawi juga menggunakan istilah Hispani untuk menyebut orang-orang Iberia. Peradaban ini sudah ada paling tidak dari abad ke-6 SM. Istilah Iberia yan...

Iowa State Daily

Newspaper in Ames, Iowa This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Iowa State Daily – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (April 2007) (Learn how and when to remove this template message) Iowa State DailyTypeStudent newspaperFormatTabloidSchoolIowa State UniversityOwner(s)Iowa State Daily Media ...

Hubungan Afrika Selatan dengan Indonesia

Hubungan Indonesia–Afrika Selatan Indonesia Afrika Selatan Hubungan Afrika Selatan dengan Indonesia adalah hubungan bilateral luar negeri antara Indonesia dan Afrika Selatan. Hubungan Afrika Selatan dengan Indonesia diresmikan dengan pendirian hubungan diplomatik pada Agustus 1994. Kedutaan Besar Afrika Selatan di Jakarta didirikan pada Januari 1995, dan Indonesia membuka Kedutaan Besar-nya di Pretoria pada 1995.[1] Kedua negara tersebut adalah anggota Organisasi Perdagangan Dunia ...

Spirit possession

Purported control of a human body by spirits, ghosts, demons, or gods Not to be confused with Obsession (Spiritism) or Mediumship. Part of a series on theParanormal Main articles Astral projection Astrology Aura Bilocation Breatharianism Clairvoyance Close encounter Cold spot Crystal gazing Conjuration Cryptozoology Demonic possession Demonology Ectoplasm Electronic voice phenomenon Exorcism Extrasensory perception Forteana Fortune-telling Ghost hunting Magic Mediumship Miracle Occult Orb Oui...

Cladistics

Method of biological systematics in evolutionary biology For the scientific journal, see Cladistics (journal). For phylogenetic nomenclature, often called cladistic nomenclature or cladistic terminology, see Phylogenetic nomenclature. Cladistics (/kləˈdɪstɪks/; from Ancient Greek κλάδος (kládos) 'branch')[1] is an approach to biological classification in which organisms are categorized in groups (clades) based on hypotheses of most recent common ancestry. The ...

Ascoli Calcio 1898 FC 2019-2020

Voce principale: Ascoli Calcio 1898 FC. Ascoli Calcio 1898 FCStagione 2019-2020Sport calcio Squadra Ascoli Allenatore Paolo Zanetti (1ª-21ª) Guillermo Abascal (22ª; 29ª-30ª) Roberto Stellone (23ª-28ª) Davide Dionigi (31ª-38ª) All. in seconda Alberto Bertolini (1ª-21ª) Carlos Moreno Valle (22ª; 29ª-30ª) Giorgio Gorgone (23ª-28ª) Andrea Iuliano (31ª-38ª) Presidente Giuliano Tosti, poi Carlo Neri Serie B14º Coppa ItaliaQuarto Turno Maggiori presenzeCampionato: Leali (35)...

Cofidis (cycling team)

French cycling team Cofidis Solutions CréditsTeam informationUCI codeCOFRegisteredFranceFounded1997 (1997)Discipline(s)RoadStatusUCI Professional Continental (2010–2019) UCI WorldTeam (2005–2009, 2020–)BicyclesKuota (–2019) De Rosa (2020–2022) Look (2009–2014, 2023–)WebsiteTeam home pageKey personnelGeneral managerCédric VasseurTeam name history1997–Cofidis Current season Cofidis Solutions Crédits (UCI team code: COF) is a French professional road bicycle racing team s...

Tupolev ANT-4

Tupolev ANT-4 (TB-1)L'esemplare di Tupolev ANT-4 battezzato Strana Sovetov che raggiunse New York per un volo dimostrativo.DescrizioneTipobombardiere Equipaggio6 Progettista TsAGI CostruttoreIndustrie di Stato URSS Data primo volo26 novembre 1925 Data entrata in servizio1929 Data ritiro dal servizio1948 Utilizzatore principale VVS Altri utilizzatori Aeroflot Aviaarktika Esemplari218 Dimensioni e pesiLunghezza18,00 m Apertura alare28,70 m Altezza4,14 m Superficie alare120,00 m² Peso a vuoto4&...

Берлинская филармония

Берлинская филармония Место нахождения Берлин, Германия Координаты 52°31′ с. ш. 13°22′ в. д.HGЯO Основана 1963 Сайт berliner-philharmoniker.de/… (нем.) (англ.) Медиафайлы на Викискладе Берлинская филармония (нем. Berliner Philharmonie) — один из самых известных концертных з�...

Kirkby-in-Ashfield

Questa voce sull'argomento centri abitati del Nottinghamshire è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Kirkby-in-Ashfieldparrocchia civileKirkby-in-Ashfield – Veduta LocalizzazioneStato Regno Unito Inghilterra RegioneMidlands Orientali Contea Nottinghamshire DistrettoAshfield TerritorioCoordinate53°06′N 1°15′W / 53.1°N 1.25°W53.1; -1.25 (Kirkby-in-Ashfield)Coordinate: 53°06′N 1°15...

Grecs de Roumanie

Grecs de Roumanie(ro) Grecii din România(el) Έλληνες της Ρουμανίας Bucarest, 1880 : vendeur grec de tirópita. Populations importantes par région Tulcea 1 181 (2011)[1] Bucarest 704 (2011)[1] Population totale 3 668 (2011)[1] Autres Langues roumain et grec Religions orthodoxe modifier Les Grecs de Roumanie (en grec : Έλληνες της Ρουμανίας / Éllines tis Roumanías, et en roumain : Grecii din România) forment l’une des m...

Eupsophus migueli

Species of frog Eupsophus migueli In Chile Conservation status Endangered (IUCN 3.1)[1] Scientific classification Domain: Eukaryota Kingdom: Animalia Phylum: Chordata Class: Amphibia Order: Anura Family: Alsodidae Genus: Eupsophus Species: E. migueli Binomial name Eupsophus migueliFormas, 1978 Eupsophus migueli is a species of frog in the family Alsodidae. It is endemic to Chile. Its natural habitats are temperate forest and intermittent freshwater marshes. It is threatened...

Drug culture

Anthropological relation of people to recreational drugs This article possibly contains original research. Please improve it by verifying the claims made and adding inline citations. Statements consisting only of original research should be removed. (June 2008) (Learn how and when to remove this message) Drug cultures are examples of countercultures that are primarily defined by spiritual, medical, and recreational drug use. They may be focused on a single drug, or endorse polydrug use. They ...

Stony Brook State Park

State park in Steuben County, New York For the Massachusetts state park, see Stony Brook Reservation. Not to be confused with Stony Brook, New York. Stony Brook State ParkLocation of Stony Brook State Park within New York StateLocationSteuben County, New York, USANearest cityDansville, New YorkCoordinates42°31′15″N 77°41′42″W / 42.52083°N 77.69500°W / 42.52083; -77.69500Area568 acres (2.30 km2)[1]Established1928Operated byNew York Sta...

خلية وحيدة

خلية وحيدة الاسم العلميmonocytus خلية وحيدة تحت المجهر الضوئي مأخوذة من شريحة دم محاطة بخلايا الدم الحمراء. تفاصيل نوع من كرية بيضاء لا محببة[1] جزء من جملة البلعميات والوحيدات معرفات ترمينولوجيا هستولوجيكا H2.00.04.1.02010 FMA 62864 ن.ف.م.ط. A11.118.637.555.652، وA11.148.580، وA11...

Carl Schuricht

German conductor (1880–1967) Carl Adolph Schuricht in c. 1910 Carl Adolph Schuricht (German: [ˈʃuːʁɪçt]; 3 July 1880 – 7 January 1967) was a German conductor. Life and career Schuricht was born in Danzig (Gdańsk), German Empire; his father's family had been respected organ-builders. His mother, Amanda Wusinowska, a widow soon after her marriage (Carl's father Carl Conrad Schuricht drowned in the Baltic Sea while trying to save a friend, three weeks before...

Blown Away (singolo)

2009 Swedish Open – Women's doubles

Template talk:European Road Champions – Women's time trial

Banjar Serasan, Pontianak Timur, Pontianak

Unione Sportiva Audace San Michele 1938-1939

Stasiun Gosannen

Keuskupan Nardò-Gallipoli

Men Without Wings