PROFILPELAJAR.COM

A matematikában, közelebbről a matematikai analízisben egy intervallumon értelmezett, valós értékű függvényt konvexnek nevezünk, ha a görbéje feletti végtelen síktartomány konvex halmaz, azaz ha egy tetszőleges szakasz két végpontja benne van a síktartományban, akkor a szakasz összes pontja is. Egy másik szemléletes megfogalmazás, hogy akkor konvex egy függvény, ha érintője mindenütt a függvénygörbe alatt halad.

Az Rⁿ egy konvex részhalmazán értelmezett, valós értékű függvény esetén is szokás konvexitásról beszélni, ennek formális megfogalmazása lentebb található. Lényegében itt is arról van szó, hogy a függvény grafikonja fölötti térrész (R² $\rightarrow$ R esetben) konvex.

Egy intervallumon értelmezett, valós értékű függvény konkáv, ha a görbéje alatti végtelen síktartomány konvex. Ekvivalensen, akkor konkáv egy függvény, ha érintője mindenütt a függvénygörbe fölött halad. A konkáv tulajdonság is kiterjeszthető az Rⁿ egy konvex részén értelmezett függvényekre. Lényegében itt is arról van szó, hogy a függvény grafikonja alatti térrész (R² $\rightarrow$ R esetben) konvex.

Köznapi nyelven a konvex-konkáv fogalmat így írják le: a konvexben nem lehet elbújni, a konkávban lehet.

Általános definíció

Az f: $I$ $\rightarrow$ R intervallumon értelmezett valós változójú függvény konvex, ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe fölött halad, azaz tetszőleges a < b pontra az $I$ -ből és t ∈ [0,1]-re:

f(t\cdot a+(1-t)\cdot b)\leq t\cdot f(a)+(1-t)\cdot f(b)

f konkáv, ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe alatt halad, azaz ha tetszőleges a < b pontra az $I$ -ből és t ∈ [0,1]-re:

f(t\cdot a+(1-t)\cdot b)\geq t\cdot f(a)+(1-t)\cdot f(b)

Szigorúan konvexnek illetve szigorúan konkávnak nevezzük f-et, ha a fenti formulában csak akkor teljesülhet egyenlőség, ha t= 0 vagy 1.

A többváltozós esetben a fenti formulák változatlanul fennmaradnak, csak a és b az értelmezési tartományba eső tetszőleges szakasz két végpontja.

Konvexitás és differenciálhatóság

Ha az f: $I$ $\rightarrow$ R intervallumon értelmezett, valós függvény differenciálható, akkor ennek konvex tulajdonsága még a következőképpen is megfogalmazható: minden $I$ -beli $x$ , $u$ számpár esetén

f(x)\geq f(u)+f'(u)(x-u)

illetve konkáv, ha minden $I$ -beli $x$ , $u$ számpár esetén:

f(x)\leq f(u)+f'(u)(x-u)

Azaz az érintő egyenes (mely differenciálható függvények esetében értelmezhető csak) konvex esetben mindig a függvénygörbe alatt, konkáv esetben felett halad. Ekkor rendre a függvény és első Taylor-polinomja közötti f – T_1,u^f ≧ 0 illetve f – T_1,u^f ≦ 0 egyenlőtlenségről beszélünk (tetszőleges u ∈ $I$ pontnál).

Amennyiben a függvény kétszer differenciálható, akkor fennáll a következő

Tétel – A konvexitás (konkavitás) jellemzése – Az f: $I$ $\rightarrow$ R intervallumon értelmezett kétszer differenciálható függvény pontosan akkor konvex (konkáv), ha a második deriváltja mindenhol nemnegatív (nempozitív).

f konvex

\Leftrightarrow

{\mbox{ }}_{f''\geq 0}

f konkáv

\Leftrightarrow

{\mbox{ }}_{f''\leq 0}

A függvény **konkáv** a [0;1,9] intervallumban

A függvény **konvex** a [-1,9;0] intervallumban

Tulajdonságok

Konvex függvények lineáris kombinációja újra konvex lesz, ha nincs benne negatív együttható. Konkáv függvények csupa nem negatív együtthatós lineáris kombinációja újra konkáv.
Ha egy függvénysorozat véges kivétellel csupa konvex, vagy konkáv függvényt tartalmaz, akkor a sorozat határértéke is ilyen lesz.
Konvex függvények felső burkolója konvex, konkáv függvények alsó burkolója konkáv.
Teljesül a Jensen-egyenlőtlenség: ha f konvex, és a λ_i együtthatók egyike sem negatív, akkor

f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}f\left(x_{i}\right).

Ha f konkáv, akkor az egyenlőtlenség fordított irányú.

Nyílt intervallumon konvex vagy konkáv függvény folytonos azon az intervallumon. Megfordítva, ha egy nyílt intervallumon folytonos függvényre teljesül a Jensen-egyenlőtlenség, akkor a függvény az egyenlőtlenség irányától függően konvex vagy konkáv.
Nyílt intervallumon konvex vagy konkáv függvény majdnem mindenütt differenciálható.
Mindezek a tulajdonságok több dimenziós esetben is teljesülnek, ha nyílt intervallum helyett mindig tartományt, azaz összefüggő nyílt halmazt tekintünk.
Végtelen dimenzióban nem lesz az összes konvex és konkáv függvény folytonos, mivel vannak lineáris operátorok, amik nem folytonosak. Ilyen például a differenciáloperátor.