Pályafutását a Szpartak Moszkvában kezdte. Az 1944-es és 1945-ös szezonban a Zenyit Leningrád játékosa volt, akikkel 1944-ben Szovjet Kupát nyert. 1946-ban, huszonegy évesen visszatért a Szpartakhoz.[1] Három szezont töltött a klubnál. Az 1949-es idényben a Gyinamo Moszkva ellen 5–4 arányban elveszített bajnokin hiába szerzett két gólt, a városi rivális szerezte meg a bajnoki címet.[2]
Mostohaapját 1949-ben letartóztatták és elhurcolták a gulagra. Szalnyikov, aki féltette mostohaapja egészségét, rendes börtönbe akarta átszállíttatni, és az akkori rendszer tisztviselői állítólag azt mondták neki, ügyét jelentősen segíti, ha a Szpartaktól a városi rivális Gyinamóhoz igazol.[3] Bár elmondása szerint boldogtalan volt a csapatnál, 1950 és 1954 között 112 alkalommal lépett pályára bajnoki mérkőzésen a klub színeiben és 29 gólt szerzett.[3] Tagja volt az 1953-ban Szovjet Kupát és 1954-ben bajnoki címet szerző csapatnak is. 1955-ben, miután a mostohaapját veszélyeztető helyzet megoldódott, visszatért a Szpartakhoz és 1960-ban bekövetkezett visszavonulásáig a klub játékosa maradt.[3] 1956-ban bajnok volt a csapattal, 1958-ban pedig megnyerte a moszkvaiakkal a bajnokságot és a kupát is. A klubnál összesen eltöltött ideje alatt 201 bajnoki mérkőzésen 86 gólt szerzett. Nyikita Szimonyan, akivel 1956-ban együtt nyert olimpiát, az 1950-es és 1960-as évek közti legjobb szovjet labdarúgónak nevezte, aki tagja volt a szovjet labdarúgás „aranygenerációjának”.[4] Pályafutása során összesen 138 gólt szerzett minden tétmérkőzést figyelembe véve, ezzel 2019-ben 26. helyen állt minden idők legeredményesebb szovjet és orosz labdarúgóinak listáján.
A válogatottban
A szovjet válogatottban 1954. szeptember 8-án mutatkozott be Svédország ellen. Tagja volt az 1956-os olimpián aranyérmet szerző csapatnak, az Indonézia elleni negyeddöntőben kétszer volt eredményes.[5] Részt vett az 1958-as világbajnokságon is, ahol a szovjetek a negyeddöntőig jutottak.[6] Húsz alkalommal szerepelt a válogatottban, tizenegy gólt szerzett.
