A maximum likelihood módszer (magyarul: legnagyobb valószínűség) a matematikai statisztika egyik leggyakrabban használt becslési eljárása mérési eredmények, minták kiértékelésére.

A maximum likelihood módszer célja, hogy adott mérési értékekhez az ismeretlen paramétereknek olyan becslését adja meg, amely mellett az adott érték a legnagyobb valószínűséggel következik be. Az eljárás a likelihoodfüggvény maximalizálásával történik.

A maximum likelihood becslés azokban az esetekben használatos, amikor az egyes mérési eredmények olyan véletlen eseményekként interpretálhatóak, amelyek egy vagy több ismeretlen paramétertől függenek. Mivel a vizsgált értékek kizárólagosan az ismeretlen paraméter(ek)től függenek, előállíthatók ezen paraméter vagy paraméterek függvényeként. A mérést, becslést végző kutató ezt a paramétert határozza meg, így maximalizálja a mért minta által követett valószínűséget.

A maximum likelihood módszer egy ${\displaystyle X}$ valószínűségi változóból indul ki, amelynek a sűrűség- vagy tömegfüggvénye ${\displaystyle f}$ és ${\displaystyle q}$ paramétertől függ.

Véletlenszerű mintavételezéskor, ${\displaystyle n}$ független és azonos feltételek között végzett mintavétel esetén, a sűrűség- vagy tömegfüggvény a következő formula szerint faktorizálható:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n};q)=\prod _{i=1}^{n}{f_{X}}_{i}(x_{i};q)}$

Amíg rögzített ${\displaystyle q}$ paraméter esetén a sűrűségfüggvény tetszőleges ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ értékkel határozható meg, fordítva járunk el, és rögzített ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ értékekre a sűrűségfüggvényt mint a ${\displaystyle q}$ paraméter függvényét tekintjük. Ezt nevezzük likelihoodfüggvénynek:

${\displaystyle L(q)=\prod _{i=1}^{n}{f_{X}}_{i}(x_{i};q)}$

A becslés a likelihoodfüggvény maximumának a megkeresése, azaz egy szélsőérték-feladat. A számítások egyszerűsítése céljából a gyakorlatban nem az eredeti likelihood-függvényt használjuk, hanem annak a természetes alapú logaritmusát. Mivel a ${\displaystyle ln}$ függvény szigorúan monoton növekvő függvény, a szélsőérték helye nem változik, és egy összeggel egyszerűbb számolni, mint egy szorzattal. Ezt a függvényt gyakran nevezik loglikelihoodfüggvénynek:

${\displaystyle \ell (q)=\ln \left(\prod _{i=1}^{n}{f_{X}}_{i}(x_{i};q)\right)=\sum _{i=1}^{n}\ln f_{X_{i}}(x_{i};q)}$

A normális eloszlás ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ sűrűségfüggvénye ${\displaystyle \mu }$ várhatóértékkel és ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ szórásnégyzettel a következő:

${\displaystyle f\left(x;\mu ,\sigma ^{2}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp {\left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}.}$

Tekintsük az ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ független mérési eredményeket, amelyek a feltételezés szerint ismeretlen ${\displaystyle m}$ várhatóértékkel és ${\displaystyle s^{2}}$ ismeretlen szórásnégyzettel ${\displaystyle {\mathcal {N}}(m,s^{2})}$ normális eloszlást követnek. A következő likelihoodfüggvénnyel kell számolnunk: ${\displaystyle q=(m,s)}$.

${\displaystyle L(m,s^{2})=\prod _{i=1}^{n}f\left(x_{i};m,s^{2}\right)=\left({\frac {1}{2\pi s^{2}}}\right)^{n/2}\exp \left(-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-m)^{2}}{2s^{2}}}\right)}$

a loglikelihoodfüggvény pedig:

${\displaystyle \log(L(m,s^{2}))=-{\tfrac {n}{2}}\log(2\pi s^{2})-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-m)^{2}}{2s^{2}}}.}$

• Jánossy, Lajos. A valószínűségelmélet alapjai és néhány alkalmazása, 1., Budapest: Tankönyvkiadó Vállalat, 206. o. (1965) 
• Tómács, Tibor. Matematikai statisztika [archivált változat], 1., Eger: Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet, 133. o. (2012). Hozzáférés ideje: 2013. május 17. [archiválás ideje: 2013. március 9.]