A Moszkvai Állami Egyetem (MGU) újságíró szakán szerzett diplomát 1958-ban. Színművészeti főiskolát nem végzett, az egyetem műkedvelő színházának tagja volt. Ottani leghíresebb alakítását a cseh drámaíró, Pavel KohoutIlyen nagy szerelem című darabjának női főszerepében (Lídia) nyújtotta. Az előadást Rolan Bikov rendezte, az ő segítségével indult el Szavvina a színésznői pályán.
1960-tól a moszkvai Moszszovjet Színház művésznője volt, többek között Nóra szerepét játszotta Ibsen azonos című drámájában. 1977-ben a Moszkvai Művész Színház társulatának tagja lett, itt először GorkijNyaralók című színművében lépett fel.
1960-ban az akkor még teljesen ismeretlen színésznőt Joszif Hejfic rendező felkérte a Csehov-novellából készítendő filmje, a A kutyás hölgy főszerepére. Első és pályájának leghíresebb filmszerepében, Alekszej Batalov partnereként Anna Szergejevna törékeny alakját bensőséges, visszafogott játékkal formálta meg. Hejfic következő Csehov-filmjében is feltűnt a kutyás hölgy szerepében (Sz. városban, 1966). Fontos feladatokat kapott más klasszikus orosz művek filmváltozatában is, köztük Dolly szerepét Lev TolsztojAnna Karenina című regényének filmváltozatában.
Szokatlan szerepben mutatkozott be a neves rendező, Andrej Mihalkov-Koncsalovszkij agyonhallgatott művében (Aszja Kljacsina története, aki szeretett, de nem ment férjhez, 1967). Egy semmirekellő sofőrbe szerelmes, sánta, de önérzetes nőt alakított az orosz falut a maga nyers valóságában, részben dokumentarista eszközökkel ábrázoló alkotásban. A filmet 1968-ban erősen megcsonkítva mutatták be, majd a forgalmazásból gyorsan kivonták. Az eredeti változat csak 1988-ban került a nézők elé. Két év múltán, tehát 23 évvel a forgatás után kapott Szavvina állami kitüntetést a filmben nyújtott teljesítményéért. Később a rendező felkérte őt a történet folytatásának főszerepére, de a forgatókönyvet Szavvina torzképnek tartotta és a szerepet nem vállalta. (A groteszk stílusú film, a Ragyás tyúk végül Inna Csurikova főszereplésével készült el 1994-ben.)
Más kortárs témájú filmdrámákban is jelentős szerepeket játszott. Kiemelkedik közülük Az idegen (1978, főszerep), melyben befelé forduló, okos és büszke asszonyt alakított, akit esküvőjük után férje régi barátai nem fogadnak el (számukra „idegen”), de nem akarja, hogy emiatt férje baráti kapcsolatai megszakadjanak; valamint a Magánélet (1982), egy lelki válságba került nyugdíjazott vállalatigazgató (Mihail Uljanov alakítása) felesége szerepében. Az utóbbiért állami díjat is kapott.
A Tarts még, tarts még, bűvölet! című produkció (1984, Szverdlovszki Filmstúdió) két naiv, idős ember (Szavvina filmbeli partnere Oleg Jefremov) szerelmének tragikus története, akiknek boldogságába az örökösök nem tudnak belenyugodni. A Trockij életének utolsó hónapjairól szóló, öt ország koprodukciójában három évig készült filmben (Trockij, 1993) Ija Szavvina Trockij feleségét alakította.
Filmjei
1960 – A kutyás hölgy(Дама с собачкой) – (Címszerep. R. Joszif Hejfic)
1960 – A szelíd nő (Кроткая) – (Dosztojevszkij novellája nyomán, főszerep. R. Alekszandr Boriszov)
1962 – A bűnös lány (Грешница) – (R. Gavriil Jegiazarov)
1967 – Aszja Kljacsina története, aki szeretett, de nem ment férjhez (История Аси Клячиной, которая любила, да не вышла замуж) – (Címszerep. R. Andrej Mihalkov-Koncsalovszkij)
1968 – Bajtársak voltak (Служили два товарища) – (R. Jevgenyij Karelov)
1969 – A „Sirály” születése (Сюжет для небольшого рассказа) – (R. Szergej Jutkevics)
1986 – Én, az erődítmény parancsnoka (Я – вожатый форпоста) – (R. Gennagyij Poloka)
1987 – Így emlékezzetek rám (Запомните меня такой) – (R. Pavel Csuhraj)
1991 – Téma két elbeszéléshez (Сюжет для двух рассказов) – (Tv-film Csehov két novellája alapján)
1993 – Trockij (Троцкий) – (R. Leonyid Marjagin)
1998 – Csehov novellái (Чехов и Ко) – (Csehov 30 novellájának feldolgozása 30 filmetűdben, 10 részben. A Moszkvai Művész Színház színészeinek közreműködésével a színház 100. évfordulójára készült)
