PROFILPELAJAR.COM

סימולציה של תנועה בראונית של 5 חלקיקים (בצהוב) המתנגשים ב-800 החלקיקים שסביבם ומסלול התנועה שלהם מופיע בכחול. עבור אחד החלקיקים מופיע גם וקטור המהירות (באדום)

המונח "תנועה בראונית" (על שם הבוטנאי רוברט בראון) יכול להתייחס לאחד מהשניים:

התופעה הפיזיקלית שבה חלקיקים זעירים, שקועים בזורם או צפים על פניו, נעים באקראיות
המודל המתמטי המשמש לתיאור תנועה אקראית זו, מודל המוכר גם בשם תהליך וינר (אנ').

תנועה בראונית היא אחד התהליכים הרציפים בזמן הפשוטים ביותר, והיא מהווה גבול הן לתהליכים סטוכאסטיים פשוטים והן למורכבים יותר (ראו גם הליכה אקראית ומשפט דונסקר). "כלליות" זו מזכירה מאוד את ה"כלליות" של ההתפלגות הנורמלית. בשני המקרים, הנוחיות המתמטית של המודלים היא זו שיוצרת העדפה לשימוש בהם, יותר מהדיוק שלהם.

תנועה בראונית נקראת גם "הליכת שיכור". הסיבה לשם זה היא שהחלקיק נע בכיוונים אקראיים, משל היה שיכור המתנודד מצד לצד בהולכו.

היסטוריה

המדען ההולנדי יאן אינגנהוס (אנ') ביצע כמה תצפיות על תנועה חריגה של אבק פחם על אלכוהול ב-1785, אבל תנועה בראונית נחשבת בדרך כלל כתגליתו של הבוטניסט רוברט בראון ב-1827. מאמינים כי בראון חקר חלקיקי אבקת פרחים צפים על מים תחת מיקרוסקופ. הוא מצא כי חלקיקים זעירים בתוך חללי גרגירי האבקה מבצעים תנועה לא יציבה. על ידי חזרה על הניסוי עם חלקיקי אבק, הוא היה מסוגל לפסול את המסקנה כי התנועה נבעה מהיות חלקיקי האבקה "חיים", אף על פי שהסיבה האמיתית לתנועה נותרה ללא הסבר.

הראשון שהסביר את המתמטיקה מאחורי התנועה הבראונית היה האסטרונום הדני תורוואלד תילה (אנ') ב-1880, בעבודה על שיטת הריבועים הפחותים. בעקבותיה באה עבודה עצמאית של לואי בשלייה ב-1900, בתזת הדוקטורט שלו "תורת הספקולציה", שעסקה בניתוח סטוכסטי של שוק המניות והאופציות. עם זאת, היו אלה מחקריהם הבלתי תלויים של אלברט איינשטיין משנת 1905 ושל מריאן סמולוכובסקי (אנ') (1906), אשר הביאו את הפתרון לתשומת לבם של הפיזיקאים.

באותה תקופה, טבעו האטומי של החומר היה עדיין רעיון שנוי במחלוקת. איינשטיין וסמולוכובסקי הבחינו כי אם התאוריה הקינטית של הנוזלים היא נכונה, אזי מולקולות המים ינועו באקראי. לכן, חלקיק קטן יקבל מספר אקראי של פגיעות בכוח אקראי בכל פרק זמן קצר. הפצצה אקראית זו על ידי מולקולות הנוזל, יגרמו לחלקיק קטן מספיק לנוע בדיוק באופן שתואר על ידי בראון. תיאודור סוודברג ביצע הדגמות חשובות של תנועה בראונית בקולואידים, ופליקס ארנהאפט – של חלקיקי כסף באוויר.

ב-1926 זכה ז'אן-בטיסט פרן בפרס נובל לפיזיקה, במידה רבה עבור החישוב של מספר אבוגדרו במספר שיטות, שביניהן חישובים המבוססים על תנועה בראונית. ב-1923 נתן נורברט וינר את ההגדרה המתמטית של תנועה בראונית, כמערכת סטוכסטית מסוימת, והוכיח שמערכת כזו אכן קיימת. הדבר שהביא את התנועה הבראונית לתשומת לבה של הקהילה המתמטית היה מאמרם של וינר עם Paley ו-Zigmund מ-1933, שבו הראו כיצד תנועה בראונית מגדירה פונקציה רציפה שאינה גזירה באף נקודה. את הספר הראשון על תנועה בראונית כתב Paul Levi ב-1948. קיושי איטו (חתן פרס וולף לשנת 1987) הגדיר ב-1942 את האינטגרל הסטוכסטי, המבוסס על תנועה בראונית.

בתחילת שנות השבעים השתמשו פישר בלק, מיירון שולס ורוברט קרהרט מרטון בכלים אלה כדי לבנות את נוסחת בלק-שולס לחישוב מחירי אופציות, בשלה זכו שני האחרונים לפרס נובל לכלכלה לשנת 1997.

הגדרה מתמטית

מבחינה מתמטית, תנועה בראונית (חד-ממדית) היא תהליך סטוכסטי $\ B_{t}$ רציף (כלומר, הפונקציה $\ t\mapsto B_{t}$ רציפה), שיש לו הוספות בלתי תלויות (כלומר, אם $\ t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{n}$ אז $\ B_{t_{n}}-B_{t_{n-1}},B_{t_{n-1}}-B_{t_{n-2}},\dots ,B_{2}-B_{1}$ בלתי תלויים), וכך שלכל $\ t>s$ , $\ X_{t}-X_{s}\sim N(0,t-s)$ . בפרט, זהו מרטינגל.

תנועה בראונית אפשר לכייל: אם $\ B_{t}$ תנועה בראונית, אז לכל a חיובי גם $\ B'_{t}=a^{-1/2}B_{at}$ היא תנועה בראונית. מתברר שגם התהליך המתאים ל-t את $\ B_{t}^{2}-t$ הוא מרטינגל. הקריטריון של לוי קובע שמרטינגל רציף עם שונויות סופיות הוא תנועה בראונית, אם ורק אם $\ B_{t}^{2}-t$ הוא מרטינגל. המתמטיקאי הישראלי אריה דבורצקי הוכיח שתנועה בראונית חד-ממדית מקבלת כל ערך מספר שאינו בן-מניה של פעמים; שתנועה בראונית דו-ממדית היא צפופה; בעוד שתנועה בראונית במימד גבוה יותר אינה צפופה.

הסבר אינטואיטיבי של תנועה בראונית

חישבו על בלון גדול, בקוטר 10 מטרים. דמיינו את הבלון הזה באצטדיון כדורגל מלא צופים. הבלון כה גדול שהוא מונח על ראשיהם של אנשים רבים בקהל. עקב התרגשותם, הצופים מכים בבלון בזמנים ובכיוונים שונים, כאשר תנועותיהם אקראיות לחלוטין. בסופו של דבר, הבלון נדחף בכיוונים אקראיים, לכן בממוצע, הוא לא יזוז. עכשיו חישבו על הכוח המופעל ברגע מסוים. ייתכן כי יש 20 איש שדוחפים ימינה, ו-21 איש אחרים דוחפים שמאלה, כאשר כל אחד מפעיל כוח שווה, בקירוב. באותו רגע, הכוחות לא מאוזנים לטובת כיוון שמאל, ולכן הבלון ינוע מעט שמאלה. חוסר-איזון זה קיים כל הזמן וגורם לתנועה אקראית. אם אנו צופים במצב מלמעלה, מגובה רב, כך שאנו לא רואים את האנשים, נראה את הבלון כעצם קטן הנע באופן בלתי יציב.

עתה נחזור לחלקיק האבקה של בראון, השוחה אקראית במים. קוטר מולקולת מים הוא כ-1 ננומטר, בעוד שזה של חלקיק אבקה גדול פי אלף: בערך 1 מיקרומטר. ניתן לדמות את חלקיק האבקה כבלון ענקי שנדחף על ידי מולקולות המים. ואמנם, תנועה בראונית של חלקיקי אבק בנוזל היא כוח יוצא של חוסר-האיזון הרגעי של הכוח המופעל על החלקיקים על ידי מולקולות הנוזל.

מידול תנועה בראונית תוך שימוש במשוואות דיפרנציאליות

המשוואות המתארות תנועה בראונית מתייחסות בצורה מעט שונה לכל אחת מההגדרות שניתנו למושג בתחילת ערך זה.

תנועה בראונית מתמטית - לחלקיק שחווה תנועה בראונית בהתאם להגדרה המתמטית, במשוואה שמכתיבה את ההשתנות בזמן של פונקציית צפיפות ההסתברות שקשורה למיקום של החלקיק הבראוני היא משוואת הדיפוזיה, משוואה דיפרנציאלית חלקית. ניתן לתאר את השתנות מיקום החלקיק הבראוני בזמן על ידי משוואת לנגבין, אשר מערבת שדה כוח אקראי המייצג את השפעת התנועות התרמיות של התמיסה על החלקיק הבראוני. בסקאלות זמן גדולות, התנועה הבראונית המתמטית מתוארת היטב על ידי משוואת לנז'בן. בטווחי זמן קצרים, השפעות אינרטיות שכיחות במשוואה. שימו לב שהשפעות אלו נלקחות בחשבון במשוואת לנגבין, אחרת המשוואה הופכת לסינגולרית, כך שהוצאת הגורם האינרטי מהמשוואה לא תיתן תיאור מדויק, אלא התנהגות ייחודית בה החלקיק לא נע בכלל.
תנועה בראונית פיזיקלית - משוואת הדיפוזיה מניבה קירוב של השתנות בזמן של פונקציית צפיפות ההסתברות, שקשורה למיקום החלקיק שחווה תנועה בראונית תחת ההגדרה הפיזיקלית. הקירוב תקף לסקאלות זמן ארוכות (ראו גם את משוואת לנגבין לפרטים). השתנות בזמן של מיקום החלקיק הבראוני עצמו מתוארת באופן מיטבי על ידי משוואת לנז'בן, אשר מערבת שדה כוח אקראי שמייצג את השפעת התנודות התרמיות בתמיסה על החלקיק.