ערך מחפש מקורות
	רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים. אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים. אם אתם סבורים כי ניתן להסיר את התבנית, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

במתמטיקה, שדה המספרים ה-p-אדיים הוא שדה, שאבריו הם המספרים ה-p-אדיים. יש שדה ${\displaystyle p}$-אדי אחד לכל מספר ראשוני ${\displaystyle p}$, ומקובל לסמן אותו באות ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$. כל הרחבה סופית של שדה המספרים ה-${\displaystyle p}$-אדיים נקראת "שדה ${\displaystyle p}$-אדי".

על שדה המספרים ה-${\displaystyle p}$-אדיים מוגדרת הערכה בדידה, ההופכת אותו לשדה מקומי, שהוא בעל עוצמת הרצף, ואינו ניתן לסידור. לפי משפט אוסטרובסקי, כל שדה מקומי ממאפיין אפס (עם ערך מוחלט לא ארכימדי) הוא ${\displaystyle p}$-אדי לאיזשהו ${\displaystyle p}$.

את המספרים ה-${\displaystyle p}$-אדיים פיתח קורט הנזל בתחילת המאה העשרים, והם הפכו במהירות לאחד הכלים ומושאי המחקר הבסיסיים באריתמטיקה המודרנית ובתורת השדות.

כל מספר ${\displaystyle p}$-אדי אפשר לכתוב באופן יחיד בצורה ${\displaystyle \sum _{i=-N}^{\infty }a_{i}p^{i}}$ כאשר ${\displaystyle N}$ שלם, ו-${\displaystyle a_{i}\in \{0,1,\dots ,p-1\}}$. החיבור והכפל מוגדרים כאילו היה מדובר בטורי חזקות במשתנה אחד.

המספרים מהצורה ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}p^{i}}$ נקראים "שלמים ${\displaystyle p}$-אדיים"; כקבוצה, הם מרכיבים את חוג השלמים ה-p-אדיים ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$, שהוא תת-חוג מקומי וראשי (חוג ההערכה הדיסקרטית המתקבל מההערכה הדיסקרטית שתוצג בתת-הפסקה הבאה) של ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$; כדי לקבל את השדה די להפוך את האיבר ${\displaystyle p}$: ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}=\mathbb {Z} _{p}[p^{-1}]}$. חוג השלמים ה-${\displaystyle p}$-אדיים הוא גבול הפוך של חוגי המנה ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$.

על שדה המספרים ה-${\displaystyle p}$-אדיים מוגדרת הערכה דיסקרטית ${\displaystyle \nu (\sum _{i=-N}^{\infty }a_{i}p^{i})=-N}$ (בהנחה ש-${\displaystyle a_{-N}\neq 0}$), וזו מגדירה ערך מוחלט לפי ${\displaystyle |f|=p^{-\nu (f)}}$ ומטריקה (${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$), המגדירה טופולוגיה. תחת הטופולוגיה הזו, חוג השלמים ה-${\displaystyle p}$-אדיים, שהוא כדור היחידה הסגור בשדה, הוא קבוצה קומפקטית, הומיאומורפית לקבוצת קנטור. השדה אינו קומפקטי, אבל הוא קומפקטי מקומית.

שורשי היחידה ב-${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ הם אלו שסדרם מחלק את ${\displaystyle p-1}$. כאשר ${\displaystyle p}$ אי-זוגי, לשלם רציונלי ${\displaystyle a}$ שאינו מתחלק ב-${\displaystyle p}$ יש שורש ${\displaystyle p}$-אדי אם ורק אם יש לו שורש מודולו ${\displaystyle p}$ (כך למשל ${\displaystyle {\sqrt {-1}},{\sqrt {11}},{\sqrt {19}}\in \mathbb {Q} _{5}}$); עבור ${\displaystyle p=2}$ התנאי הוא שיהיה ל-${\displaystyle a}$ שורש מודולו 8, ולדוגמה ${\displaystyle {\sqrt {3}}\not \in \mathbb {Q} _{2}}$. הלמה של הנזל מאפשרת לפתור משוואות פולינומיות בשדה המספרים ה-${\displaystyle p}$-אדיים, ובאופן כללי יותר, לפרק פולינומים לגורמים, על ידי הרמה, כביכול, של הבעיה מן המנות הסופיות ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$.

בניגוד לשדה המספרים הממשיים, שיש לו הרחבה אלגברית אחת ויחידה - המרוכבים - לשדה המספרים ה-${\displaystyle p}$-אדיים יש הרחבות אלגבריות מכל מימד, ומספרן (בכל מימד) סופי. אם ${\displaystyle p}$ אי זוגי יש בדיוק שלוש הרחבות ריבועיות, ולשדה המספרים ה-2-אדיים יש שבע הרחבות ריבועיות. מבין ההרחבות האלה, יש הרחבה לא מסועפת יחידה מכל מימד.

הסגור האלגברי ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$ אינו שלם ביחס לטופולוגיה המושרה; את הסגור השלם מסמנים ב- ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$, ושדה זה הוא סגור גם אלגברית וגם מטרית. מבחינה אלגברית (וללא המבנה המטרי), ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ איזומורפי לשדה המספרים המרוכבים, ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

חבורת גלואה של כל הרחבה סופית של ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ היא פתירה, ולכן חבורת גלואה האבסולוטית ${\displaystyle {\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}_{p}/\mathbb {Q} _{p})}$ היא פרו-פתירה.

• חוג האדלים
• משפט גרונוולד-ואנג

מערכות מספרים
מספרים	המספרים הטבעיים ${\displaystyle \mathbb {N} }$ (מערכת פאנו) • חוג המספרים השלמים ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (מספרים חיוביים ושליליים, מספר שלם) • שדה המספרים הרציונליים ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (מספר רציונלי, מספר אי-רציונלי) • שדה המספרים הממשיים ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (הישר הממשי, מספר ממשי) • שדה המספרים המרוכבים ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (המישור המרוכב, מספר מרוכב, מספר מדומה)
הרחבות של חוג המספרים השלמים	חוג השלמים של גאוס ${\displaystyle \ \mathbb {Z} [i]}$ • חוג השלמים האלגבריים ${\displaystyle \ {\overline {\mathbb {Z} }}}$ • חוג השלמים של אייזנשטיין ${\displaystyle \ \mathbb {Z} [\omega ]}$
הרחבות של שדה המספרים הרציונליים	שדה מספרים • שדה המספרים הניתנים לבנייה • שדה המספרים האלגבריים ${\displaystyle \ {\overline {\mathbb {Q} }}}$ (מספר אלגברי, מספר טרנסצנדנטי) • שדה המספרים ה-p-אדיים ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ (מספר p-אדי) • שדה ציקלוטומי
מעבר למרוכבים	אלגברת קווטרניונים (אלגברת הקווטרניונים של המילטון ${\displaystyle \ {\mathbb {H} }}$) • אלגברת אוקטוניונים (אלגברת האוקטוניונים של קיילי ${\displaystyle \ {\mathbb {O} }}$) • אלגברות קיילי-דיקסון