פונקציה רציפה בהחלט

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, פונקציה רציפה בהחלט היא פונקציה ממשית, המקיימת תכונת "חֲלָקוּת" בקטע, שהיא חזקה יותר מרציפות במידה שווה, וממילא גם מרציפות נקודתית. המושג של רציפות בהחלט מאפשר להכליל את הקשר בין שתי הפעולות המרכזיות של החדו״א – גזירה ואינטגרציה. מערכת יחסים זו מתוארת בדרך כלל (במשפט היסודי של החדו״א) במסגרת אינטגרל רימן, אך בעזרת רציפות בהחלט אפשר לנסח אותה במונחים של אינטגרל לבג. בהקשר של פונקציות ממשיות שמוגדרות על הישר הממשי, קיימים שני מושגים הקשורים זה בזה: רציפות בהחלט של פונקציות ורציפות בהחלט של מידות. ניתן להכליל את שני המושגים האלה בכיוונים שונים. לדוגמה, הנגזרת הרגילה של פונקציה קשורה לנגזרת רדון־ניקודים של מידה.

בתת־קבוצה קומפקטית של הישר הממשי מתקיימת שרשרת ההכלות הבאה למחלקות של פונקציות:

רציפה בהחלטרציפה במידה שווהרציפה

ואילו בקטע סגור,

גזירה ברציפותליפּשיציתרציפה בהחלטבעלת השתנות חסומהגזירה כמעט בכל מקום

רציפות בהחלט של פונקציות

פונקציה רציפה אינה רציפה בהחלט אם היא אינה רציפה במידה שווה, מה שעשוי לקרות אם התחום שבו מוגדרת הפונקציה אינו קומפקטי – דוגמאות לפונקציות שכאלה:

  • בקטע ;
  • בכל הישר;
  • בקטע .

עם זאת, פונקציה רציפה עשויה לא להיות רציפה בהחלט אפילו בקטע סגור. ייתכן שהיא אינה גזירה כמעט בכל מקום (כמו פונקציית ויירשטראס שאינה גזירה באף נקודה). ייתכן שהיא דווקא גזירה כמעט בכל מקום ואף ש־ היא אינטגרבילית לבג, אך ההפרש בין האינטגרל הלא־מסוים של ל־ עצמה אינו קבוע. זה קורה למשל בפונקציית קנטור.

הגדרה

יהי קטע מוכלל. נאמר ש־ היא רציפה בהחלט ב־ אם לכל מספר חיובי , קיים מספר חיובי כך שכל סדרה סופית של תת־קטעים זרים בזוגות שֶׁל שמקיימת[1] מקיימת גם אוסף כל הפונקציות הרציפות בהחלט ב־ מסומן .

הגדרות שקולות

התנאים הבאים בפונקציה ממשית בקטע סגור שקולים:[2]

  1. רציפה בהחלט;
  2. גזירה כמעט בכל מקום, אינטגרבילית לבג, וּמתקייםלכל ;
  3. קיימת פונקציה אינטגרבילית לבג ב־ כך שמתקייםלכל .

אם תנאים שקולים אלה מתקיימים, אזי בְּהֶכְרֵחַ כמעט בכל מקום.

השקילות בין (1) ל־(3) ידועה גם בתור הכללת לבג למשפט היסודי של החדו״א או המשפט היסודי של החדו״א לאינטגרל לבג.[3]

להגדרה שקולה בהקשר של מידות, עיינו בפסקה הקשר בין שני המושגים של רציפות בהחלט.

תכונות

  • הסכום וההפרש של שתי פונקציות רציפות בהחלט גם הם רציפים בהחלט. אם שתי הפונקציות מוגדרות בקטע סגור, אז גם המכפלה שלהן רציפה בהחלט.[4]
  • אם רציפה בהחלט ואינה מתאפסת בקטע סגור, אז גם רציפה בהחלט.[5]
  • כל פונקציה רציפה בהחלט היא רציפה במידה שווה ולכן רציפה; כל פונקציה שמקיימת את תנאי ליפשיץ היא רציפה בהחלט.[6]
  • אם רציפה בהחלט, אז היא בעלת השתנות חסומה ב־.[7]
  • אם רציפה בהחלט, אז ניתן לכתוב אותה כהפרש של שתי פונקציות עולות במובן החלש וּרציפות בהחלט ב־.
  • אם רציפה בהחלט, אז היא מקיימת את תכונת לוזין (כלומר, לכל כך ש־ מתקיים , כאשר היא מידת לבג ב־).
  • רציפה בהחלט אם ורק אם היא רציפה, בעלת השתנות חסומה וּמקיימת את תכונת לוזין.

דוגמאות

הפונקציות הבאות רציפות במידה שווה אך אינן רציפות בהחלט:

  • פונקציית קנטור ב־ (היא בעלת השתנות חסומה, אך אינה רציפה בהחלט);
  • הפונקציהבקטע סופי שכולל את .

הפונקציה הבאה רציפה בהחלט אך אינה מקיימת את תנאי הלדר ביחס ל־:

  • הפונקציה ב־, לכל .

הפונקציה הבאה רציפה בהחלט וגם מקיימת את תנאי הלדר ביחס ל־, אך אינה ליפּשיצית:

  • הפונקציה ב־, לכל .

הכללות

יהי מרחב מטרי, ויהי קטע מוכלל. נאמר ש־ היא רציפה בהחלט ב־ אם לכל מספר חיובי , קיים מספר חיובי כך שכל סדרה סופית של תת־קטעים זרים בזוגות שֶׁל שמקיימתמקיימת גם אוסף כל הפונקציות הרציפות בהחלט מ־ ל־ מסומן .

הכללה נוספת היא המרחב של העקומות כך שלכל [8] עבור כלשהי (מרחב Lp).

תכונות של ההכללות האלה

  • כל פונקציה רציפה בהחלט היא רציפה במידה שווה ולכן רציפה; כל פונקציה שמקיימת את תנאי ליפשיץ היא רציפה בהחלט.
  • אם רציפה בהחלט, אז היא בעלת השתנות חסומה ב־.
  • עבור הנגזרת המטרית של קיימת כמעט בכל מקום ב־, והיא ה־ הקטנה ביותר כך שלכל מתקיים[9]

רציפות בהחלט של מידות

הגדרה

נאמר שמידה על קבוצות בורל של הישר הממשי היא רציפה בהחלט ביחס למידת לבג (או נשלטת על ידי ) אם לכל קבוצה מדידה , גורר , וּנסמן: .

ברוב היישומים, אם נאמר שמידה על הישר הממשי רציפה בהחלט – מבלי לציין ביחס לאיזו מידה היא רציפה בהחלט – נתכוון שהיא רציפה בהחלט ביחס למידת לבג.

אותו עיקרון תקף לגבי מידות על קבוצות בורל של כאשר .

הגדרות שקולות

התנאים הבאים עבור מידה סופית בקבוצות בורל של הישר הממשי שקולים:[10]

  1. רציפה בהחלט;
  2. לכל מספר חיובי קיים מספר חיובי כך ש־ לכל קבוצה שמידת לבג שלה קטנה מ־;
  3. קיימת פונקציה אינטגרבילית לבג בישר הממשי כך שלכל קבוצת בורל מתקיים

להגדרה שקולה בהקשר של פונקציות, עיינו בפסקה הקשר בין שני המושגים של רציפות בהחלט.

כל פונקציה אחרת שמקיימת את (3) שווה ל־ כמעט בכל מקום. פונקציה כזו נקראת נגזרת רדון־ניקודים, או צפיפות, של המידה הרציפה בהחלט .

השקילות בין (1), (2) ו־(3) מתקיימת גם ב־ לכל .

לפיכך, המידות הרציפות בהחלט ב־ הן בדיוק אלה שיש להן צפיפות; כמקרה פרטי, מידות ההסתברות הרציפות בהחלט הן בדיוק אלה שיש להן פונקציית צפיפות.

הכללות

אם ו־ הן שתי מידות באותו מרחב מדיד , נאמר ש־ היא רציפה בהחלט ביחס ל־ אם לכל קבוצה שעבורה ,[11] וּנסמן: . כלומר: רציפות בהחלט של מידות היא רפלקסיבית וטרנזיטיבית, אבל אינה אנטי־סימטרית, ולכן היא קדם־סדר אך לא סדר חלקי. במקום זאת, אם וגם , נאמר שהמידות ו־ שקולות. לפיכך רציפות בהחלט משרה סדר חלקי של מחלקות שקילות כאלה.

אם היא מידה מסומנת או מרוכבת, נאמר ש־ היא רציפה בהחלט ביחס ל־ אם ההשתנות הכללית שלה מקיימת או, באופן שקול, אם כל קבוצה שעבורה היא ־אפסית. משפט רדון־ניקודים[12] קובע כי אם היא רציפה בהחלט ביחס ל־, וּשתי המידות הן ־סופיות, אז ל־ יש צפיפות, או נגזרת רדון־ניקודים, ביחס ל־, כלומר קיימת פונקציה ־מדידה שמקבלת ערכים ב־ וּמסומנת , כך שלכל קבוצה ־מדידה מתקיים

מידות סינגולריות

בעזרת משפט הפירוק של לבג,[13] ניתן לפרק כל מידה לסכום של מידה רציפה בהחלט ומידה סינגולרית.

הקשר בין שני המושגים של רציפות בהחלט

מידה סופית בקבוצת בורל של הישר הממשי היא רציפה בהחלט ביחס למידת לבג אם ורק אם פונקציית הנקודה היא פונקציה ממשית רציפה בהחלט. באופן כללי יותר, פונקציה היא רציפה בהחלט מקומית (כלומר בכל קטע סופי) אם ורק אם הנגזרת של פונקציית ההצטברות שלה היא מידה רציפה בהחלט ביחס למידת לבג.

אם מתקיימת רציפות בהחלט, אז נגזרת רדון־ניקודים של שווה כמעט בכל מקום לנגזרת של .[14]

באופן כללי יותר, מניחים ש־ היא סופית מקומית (ולא סופית) וש־ מוגדרת כ־ עבור , כ־ עבור וכ־ עבור . במקרה זה היא מידת לבג־סטילטיס שנוצר על ידי ,[15] וגם פה קיים הקשר בין שני המושגים של רציפות בהחלט.[16]

ראו גם

לקריאה נוספת

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא סוגי רציפויות בוויקישיתוף

הערות שוליים

  1. ^ רוידן, פסקה 5.4, עמוד 108; נילסן, הגדרה 15.6 בעמוד 251; אתרֶיה ולהירי, הגדרות 4.4.1 ו־4.4.2 בעמודים 128–129; בשני הספרים הראשונים מניחים ש־ הוא קטע סגור.
  2. ^ רוידן, פסקה 5.4, עמוד 110; נילסן, משפט 20.8 בעמוד 354; אתרֶיה ולהירי, משפטים 4.4.1 ו־4.4.2 בעמודים 129–130.
  3. ^ אתרֶיה ולהירי, לפני משפט 4.4.1 בעמוד 129.
  4. ^ רוידן, בעיות 5.14a ו־5.14c בעמוד 111.
  5. ^ רוידן, בעיה 5.14c בעמוד 111.
  6. ^ רוידן, בעיה 5.20a בעמוד 112.
  7. ^ רוידן, משפט עזר 5.11 בעמוד 108.
  8. ^ אמברוזיו, ג׳ילי וסווארה, הגדרה 1.1.1 בעמוד 23.
  9. ^ אמברוזיו, ג׳ילי וסווארה, משפט 1.1.2 בעמוד 24.
  10. ^ השקילות בין (1) ל־(2) היא מקרה פרטי של טענה 15.5 בעמוד 251, נילסן (שאינה נכונה עבור מידות ־סופיות); השקילות בין (1) ל־(3) היא מקרה פרטי של משפט רדון־ניקודים, שנכון גם עבור מידות ־סופיות.
  11. ^ רוידן, פסקה 11.6, עמוד 276; נילסן, הגדרה 15.3 בעמוד 250; אתרֶיה ולהירי, הגדרה 4.1.1 בעמוד 113.
  12. ^ רוידן, משפט 11.23 בעמוד 276; נילסן, משפט 15.4 בעמוד 251; אתרֶיה ולהירי, פריט (ii) של משפט 4.1.1 בעמוד 115.
  13. ^ רוידן, טענה 11.24 בעמוד 278; נילסן, משפט 15.14 בעמוד 262; אתרֶיה ולהירי, פריט (i) של משפט 4.1.1 בעמוד 115.
  14. ^ רוידן, בעיה 12.17b בעמוד 303.
  15. ^ אתרֶיה ולהירי, פסקה 1.3.2, עמוד 26.
  16. ^ רוידן, בעיה 12.17a בעמוד 303; נילסן, טענה 15.7 בעמוד 252; אתרֶיה ולהירי, משפט 4.4.3 בעמוד 131.

Read other articles:

Body of water Greenland SeaGreenland Sea icebergGreenland SeaLocationNorthern America and Northern EuropeCoordinates76°N 8°W / 76°N 8°W / 76; -8TypeSeaBasin countriesGreenland, Iceland, and NorwaySurface area1,205,000 km2 (465,300 sq mi)Average depth1,444 m (4,738 ft)Max. depth4,846 m (15,899 ft)Water volume1,747,250 km3 (419,000 cu mi)References[1][2] The Greenland Sea is a body of water that b...

 

État-major de l'Union européenneBlason de l'État-major de l'Union européenneHistoireFondation 22 janvier 2001CadreSigle EMUEType Agence de l'Union européenne, état-majorSiège Ville de BruxellesPays  BelgiqueCoordonnées 50° 50′ 44″ N, 4° 23′ 25″ EOrganisationEffectif 200Haut représentant Josep BorrellDirecteur général de l'État-major Lieutenant Général Michiel van der LaanDirecteur général adjoint Major général Giovanni ManioneAll�...

 

Puritan PassionsKartu lobiSutradaraFrank TuttleDitulis olehFrank TuttleJames Ashmore Creelman [1]PemeranMaude HillGlenn HunterOsgood PerkinsThomas ChalmersMary AstorSinematograferFred WallerDistributorW. W. Hodkinson CorporationTanggal rilis 09 September 1923 (1923-09-09) Durasi70 menitNegaraAmerika SerikatBahasaBisu Puritan Passions adalah sebuah film bisu tahun 1923 garapan Frank Tuttle, berdasarkan pada sandiwara tahun 1908 karya Percy MacKaye The Scarecrow, yang karya itu sen...

Синелобый амазон Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:ЧелюстноротыеНадкласс:ЧетвероногиеКлада:АмниотыКлада:ЗавропсидыКласс:Пт�...

 

Local council in Gozo Region, MaltaXewkija Ix-XewkijaCasal Xeuchia, Casal SceuchiaLocal councilRotunda of Xewkija FlagCoat of armsMotto: Nemo me impune lacessitCoordinates: 36°1′59″N 14°15′30″E / 36.03306°N 14.25833°E / 36.03306; 14.25833Country MaltaRegion Gozo RegionDistrictGozo and Comino DistrictBordersFontana, Għajnsielem, Munxar, Sannat, Victoria, XagħraGovernment • MayorHubert Saliba (PL)Area • Total4.5 km2 (...

 

US college basketball award USBWA National Freshman of the YearAwarded forthe most outstanding freshmen male and female college basketball playersCountryUnited StatesPresented byUnited States Basketball Writers AssociationHistoryFirst award1989 (men) 2003 (women)Most recentReed Sheppard, Kentucky (men)JuJu Watkins, USC (women)WebsiteWebsite The USBWA National Freshman of the Year, with the men's and women's versions respectively named the Wayman Tisdale Award and Tamika Catchings Award, is an...

Kirk DouglasDouglas pada tahun 1963LahirIssur Danielovitch Demsky(1916-12-09)9 Desember 1916Amsterdam, New York, Amerika SerikatMeninggal5 Februari 2020(2020-02-05) (umur 103)Beverly Hills, California, Amerika SerikatNama lainIzzy DemskyIsador DemskyPendidikanUniversitas St. LawrencePekerjaan Aktor Produser Sutradara Pengarang Tentara Tahun aktif1946–2008Partai politikDemokratSuami/istriDiana Douglas ​ ​(m. 1943; c. 1951)​ Anne...

 

Vietnamese sour soup dish This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Canh chua – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (February 2013) (Learn how and when to remove this message) Canh chuaA bowl of Canh chuaTypeSoupPlace of originVietnamRegion or stateMekong DeltaMain ingredientsFish, pineapple, t...

 

This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) The topic of this article may not meet Wikipedia's notability guidelines for companies and organizations. Please help to demonstrate the notability of the topic by citing reliable secondary sources that are independent of the topic and provide significant coverage of it beyond a mere trivial mention. If notability cannot be shown, the articl...

Berbagai gaya kerai jendela Kerai jendela adalah salah satu jenis penutup jendela .[1] Ada banyak jenis kerai jendela yang menggunakan berbagai sistem kontrol. Kerai jendela pada umumnya terdiri dari beberapa bilah panjang horizontal atau vertikal dari berbagai jenis bahan keras, termasuk kayu, plastik, atau logam yang diikat dengan tali yang melewati bilah Kerai. Kerai vertikal dipasang di sepanjang sistem lintasan yang dapat dimiringkan untuk membuka dan menutup serta bergerak dari ...

 

This article uses bare URLs, which are uninformative and vulnerable to link rot. Please consider converting them to full citations to ensure the article remains verifiable and maintains a consistent citation style. Several templates and tools are available to assist in formatting, such as reFill (documentation) and Citation bot (documentation). (August 2022) (Learn how and when to remove this message) Neighbourhood in Toronto, Ontario, CanadaHumber Valley VillageNeighbourhoodCoordinates: 43�...

 

Сельское поселение России (МО 2-го уровня)Новотитаровское сельское поселение Флаг[d] Герб 45°14′09″ с. ш. 38°58′16″ в. д.HGЯO Страна  Россия Субъект РФ Краснодарский край Район Динской Включает 4 населённых пункта Адм. центр Новотитаровская Глава сельского пос�...

1998 novel by Christopher Bulis Vanderdeken's Children AuthorChristopher BulisSeriesDoctor Who book:Eighth Doctor AdventuresRelease number14SubjectFeaturing:Eighth DoctorSamPublisherBBC BooksPublication dateAugust 1998ISBN0-563-40590-2Preceded byPlacebo Effect Followed byThe Scarlet Empress  Vanderdeken's Children is an original novel written by Christopher Bulis and based on the long-running British science fiction television series Doctor Who. It features the Eighth Doct...

 

此條目可能包含不适用或被曲解的引用资料,部分内容的准确性无法被证實。 (2023年1月5日)请协助校核其中的错误以改善这篇条目。详情请参见条目的讨论页。 各国相关 主題列表 索引 国内生产总值 石油储量 国防预算 武装部队(军事) 官方语言 人口統計 人口密度 生育率 出生率 死亡率 自杀率 谋杀率 失业率 储蓄率 识字率 出口额 进口额 煤产量 发电量 监禁率 死刑 国债 ...

 

2020年夏季奥林匹克运动会波兰代表團波兰国旗IOC編碼POLNOC波蘭奧林匹克委員會網站olimpijski.pl(英文)(波兰文)2020年夏季奥林匹克运动会(東京)2021年7月23日至8月8日(受2019冠状病毒病疫情影响推迟,但仍保留原定名称)運動員206參賽項目24个大项旗手开幕式:帕维尔·科热尼奥夫斯基(游泳)和马娅·沃什乔夫斯卡(自行车)[1]闭幕式:卡罗利娜·纳亚(皮划艇)&#...

密西西比州 哥伦布城市綽號:Possum Town哥伦布位于密西西比州的位置坐标:33°30′06″N 88°24′54″W / 33.501666666667°N 88.415°W / 33.501666666667; -88.415国家 美國州密西西比州县朗兹县始建于1821年政府 • 市长罗伯特·史密斯 (民主党)面积 • 总计22.3 平方英里(57.8 平方公里) • 陸地21.4 平方英里(55.5 平方公里) • ...

 

Arondisemen Bayeux Administrasi Negara Prancis Region Basse-Normandie Departemen Calvados Kanton 6 Komune 126 Sous-préfecture Bayeux Statistik Luas¹ 952 km² Populasi  - 1999 63,022  - Kepadatan 66/km² Lokasi Lokasi Bayeux di Basse-Normandie ¹ Data Pendaftaran Tanah Prancis, tak termasuk danau, kolam, dan gletser lebih besar dari 1 km² (0.386 mi² atau 247 ekar) juga muara sungai. Arondisemen Bayeux merupakan sebuah arondisemen di Prancis, terletak di département Calv...

 

For other people with the same name, see Tom Johnston (disambiguation). Scottish socialist and politician The Right HonourableThomas JohnstonCH FRSEJohnstonSecretary of State for ScotlandIn office8 February 1941 – 23 May 1945Prime MinisterWinston ChurchillPreceded byErnest BrownSucceeded byThe Earl of RoseberyLord Privy SealIn office24 March 1931 – 24 August 1931Prime MinisterRamsay MacDonaldPreceded byVernon HartshornSucceeded byThe Earl PeelMember of Parliamentfor West...

Pyramid of the Sun and Avenue of The Dead, viewed from the top of Pyramid of the Moon, Teotihuacán, Mexico, 100–200 AD This is a list of pre-Columbian cultures. Cultural characteristics Watson Brake, Louisiana, 3500 BC Tikal, Guatemala, Maya civilization. Many pre-Columbian civilizations established permanent or urban settlements, agriculture, and complex societal hierarchies. In North America, indigenous cultures in the Lower Mississippi Valley during the Middle Archaic period built comp...

 

Alloy of copper and tin This article is about the metal alloy. For other uses, see Bronze (disambiguation). Various examples of bronze artworks throughout history Bronze is an alloy consisting primarily of copper, commonly with about 12–12.5% tin and often with the addition of other metals (including aluminium, manganese, nickel, or zinc) and sometimes non-metals, such as phosphorus, or metalloids, such as arsenic or silicon. These additions produce a range of alloys that may be harder than...