פונקציית ויירשטראס

פונקציית ויירשטראס היא הדוגמה הראשונה שפורסמה לפונקציה רציפה בכל נקודה על הישר הממשי אך לא גזירה באף נקודה.

לפי משפט הקטגוריה של בר, אוסף הפונקציות הרציפות $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ הגזירות בנקודה אחת לפחות הוא קבוצה מקטגוריה ראשונה. בצורה פשטנית אומר המשפט כי "רוב" הפונקציות הרציפות אינן גזירות באף נקודה, אולם המשפט אינו מצביע על פונקציה מסוימת כזו. הדוגמה הראשונה שפורסמה לפונקציה כזו היא זו שנתן קארל ויירשטראס בשנת 1872 (היסטורית, הדוגמה של ויירשטראס קדמה להוכחת משפט הקטגוריה).

הגדרת הפונקציה היא: $f(x)=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x)$ כאשר $0<a<1$ ו- $b$ שלם אי-זוגי עבורם $ab>1+1.5\pi$ .

גרף עבור פונקציית ויירשטראס $f(x)=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }0.5^{n}\cos(21^{n}\pi x)$

פונקציית ויירשטראס מורכבת מאינסוף עותקים של הרמוניה בסיסית, העוברת שני שינויי סקלה (במשרעת ובתדירות).

גרף הפונקציה הוא פרקטל, שממד האוסדורף שלו הוא ${\frac {\log(a)}{\log(b)}}+2$ .

ניתן להוכיח שהפונקציה רציפה, משום שהטור מתכנס במידה שווה (ממבחן M של ויירשטראס), וכל סכום חלקי מהווה פונקציה רציפה (ולכן נוכל להשתמש במשפט הגבול האחיד (אנ'), הגורס כי אם סדרת פונקציות רציפות מתכנסת במידה שווה, אז הפונקציה הגבולית רציפה). ההוכחה שהפונקציה אינה גזירה באף נקודה מורכבת יותר.

ראו גם

פונקציית רימן ("פונקציית הסרגל")
פונקציית דיריכלה

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציית ויירשטראס בוויקישיתוף

פונקציית ויירשטראס, באתר MathWorld (באנגלית)

Johan Thim, Continuous Nowhere Differentiable Fuctions, Master's Thesis, 2003

Read other articles:

Bandar Udara Pulau Rodrigues

Sir Gaëtan Duval AirportIATA: RRGICAO: FIMRInformasiJenisPublicPengelolaAirport of Rodrigues Ltd - Licensed Aerodrome OperatorLokasiPlaine Corail, Rodrigues, MauritiusKetinggian dpl29 mdplKoordinat19°45′27″S 063°21′39″E / 19.75750°S 63.36083°E / -19.75750; 63.36083Landasan pacu Arah Panjang Permukaan m kaki 12/30 1,020 3,346 Aspal Source: DAFIF[1][2] Bandar Udara Pulau Rodrigues merupakan sebuah bandar udara yang terletak di Pulau...

Lempuyang

Untuk kegunaan lain, lihat Lempuyang (disambiguasi). Untuk stasiun kereta api yang secara etimologis berasal dari kata lempuyang, lihat Stasiun Lempuyangan. Lempuyang Zingiber zerumbet Status konservasiKekurangan dataIUCN96816015 TaksonomiDivisiTracheophytaSubdivisiSpermatophytesKladAngiospermaeKladmonocotsKladcommelinidsOrdoZingiberalesFamiliZingiberaceaeGenusZingiberSpesiesZingiber zerumbet Sm., 1806 Tata namaBasionimAmomum zerumbet (en) lbs Lempuyang atau lempuyang wangi (Zingiber zerumbet...

Police Regiment Centre

Security unit of Nazi Germany Police Regiment CentrePolizei-Regiment MitteActive1941–1942Country Nazi GermanyRoleParticipation in the HolocaustNazi security warfareSizeRegimentPart ofOrder Police under SS command, reporting directly to Higher SS and Police Leader, Central RussiaCommandersNotablecommandersMax Montua [de] Walter SchimanaMilitary unit ComponentsPolice Battalion 307 Police Battalion 316 Police Battalion 322 Wehrmacht propaganda photograph of Jewish women ...

Arnold Badjou

Questa voce sull'argomento calciatori belgi è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Arnold Badjou Nazionalità Belgio Altezza 174 cm Peso 69 kg Calcio Ruolo Portiere Termine carriera 1939 CarrieraSquadre di club1 1928-1939 Daring Bruxelles? (-?)Nazionale 1930-1939 Belgio31 (-?) 1 I due numeri indicano le presenze e le reti segnate, per le sole partite di campionato.Il simbolo → ind...

السرطان الناسك

اضغط هنا للاطلاع على كيفية قراءة التصنيف السرطان الناسكالعصر: 136–0 مليون سنة قك ك أ س د ف بر ث ج ط ب ن Paguritta gracilipes المرتبة التصنيفية فصيلة عليا التصنيف العلمي المملكة: حيوان الشعبة: مفصليات الأرجل الشعيبة: قشريات الطائفة: لينات الدرقة الرتبة: عشاريات الأرجل الرتيبة: متع...

Utah's congressional districts

Utah's congressional districts since 2023 Utah is divided into 4 congressional districts, each represented by a member of the United States House of Representatives. After the 2010 census, Utah gained one House seat, and a new map was approved by the state legislature and signed into law by Governor Gary Herbert.[1][2] Current districts and representatives Utah’s congressional districts are an example of partisan gerrymandering.[3] In this instance, Republican lawma...

Waitrose

British supermarket chain owned by John Lewis Partnership Waitrose LimitedCompany typeSubsidiaryIndustrySupermarketFounded1904FounderWallace WaiteArthur RoseDavid TaylorHeadquartersBracknell, EnglandNumber of locations329 (April 2023)Area servedUnited KingdomProductsFoodServicesSupermarketsOnline shoppingRevenue £6.984 billion (2022)[1]Operating income £1.02 billion (2022)[1]Number of employees52,590 (2018)[2]ParentJohn Lewis PartnershipWebsitewaitrose.com The Waitro...

Apache Directory

Open-source directory server Apache Directory ServerDeveloper(s)Apache Software FoundationStable release2.0.0-AM27 / October 23, 2023; 7 months ago (2023-10-23)[1] RepositoryDirectory Server RepositoryWritten inJavaOperating systemCross-platformTypeLDAPLicenseApache License 2.0Websitedirectory.apache.org Apache Directory is an open source project of the Apache Software Foundation. The Apache Directory Server, originally written by Alex Karasulu, is an embeddable dire...

Tenrikyo

Japanese new religion Not to be confused with Tengrism. Part of a series onTenrikyo People Nakayama Miki Iburi Izō Shinbashira Nakayama Shinnosuke Nakayama Shōzen Scripture Ofudesaki Mikagura-uta Osashizu Supplemental texts The Doctrine of Tenrikyo The Life of Oyasama Anecdotes of Oyasama Beliefs Joyous Life God Anthropology Creation myth Jiba-Kanrodai Theology Practices Service Sazuke History History Timeline Institutions Tenrikyo Church Headquarters Oyasato-yakata Tenri University Sankōk...

Синяговский, Владимир Ильич

В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Синяговский. Синяговский Владимир Ильич Дата рождения 9 августа 1948(1948-08-09) (75 лет) Место рождения Новониколаевская, Калининский район, Краснодарский край, РСФСР, СССР Гражданство СССР→ Россия Род деяте...

اليكسا ألامانيون

هذه المقالة تحتاج للمزيد من الوصلات للمقالات الأخرى للمساعدة في ترابط مقالات الموسوعة. فضلًا ساعد في تحسين هذه المقالة بإضافة وصلات إلى المقالات المتعلقة بها الموجودة في النص الحالي. (مارس 2016) اليكسا ألامانيون معلومات شخصية مواطنة الولايات المتحدة الحياة العملية المد�...

Artificial neuron

Mathematical function conceived as a crude model Artificial neuron structure An artificial neuron is a mathematical function conceived as a model of biological neurons in a neural network. Artificial neurons are the elementary units of artificial neural networks.[1] The artificial neuron is a function that receives one or more inputs, applies weights to these inputs, and sums them to produce an output. The design of the artificial neuron was inspired by neural circuitry. Its inputs ar...

Noongar

Kelompok Noongar menurut peta Norman Tindale (1930). Noongar (ejaan alternatif: Nyungar/Nyoongar/Nyoongah/Nyungah/Nyugah/Noonga)[1] adalah penduduk asli Australia yang tinggal di wilayah barat daya Australia Barat, dari Geraldton hingga Esperance. Sebelum datangnya bangsa Eropa, populasi Noongar diperkirakan sebesar 6.000 hingga 10.000. Setelah kolonisasi Britania, kekerasan dan wabah penyakit dari Eropa telah mengurangi jumlah populasi Noongar.[2] Kini, menurut sensus tahun 2...

Michael Gerber (bishop)

German Roman Catholic bishop Michael Gerber (born January 15, 1970, in Oberkirch) is a German Roman Catholic bishop of Roman Catholic Diocese of Fulda. His ExcellencyMichael GerberBishop of FuldaChurchRoman CatholicDioceseDiocese of FuldaAppointed13 December 2018Installed31 March 2019PredecessorHeinz Josef AlgermissenOrdersOrdination11 May 1997Consecration8 September 2013by Robert ZollitschPersonal detailsBorn (1970-01-15) January 15, 1970 (age 54)GermanyNationalityGermanDenominatio...

Jeroboam

Biblical figure and monarch For other uses, see Jeroboam (disambiguation). Jeroboamירבעם‎Detail of Jeroboam Sacrificing to Idols by Fragonard, 1752King of Northern IsraelReign931/22 – 910/901 BC (tentative)PredecessorPosition establishedSuccessorNadabBornunknownUnited Kingdom of IsraelDied910/901 BC (tentative)Tirzah, Northern Kingdom of IsraelSpouseAno (named only in the Septuagint)IssueAbijah NadabHouseNew House, Tribe of EphraimFatherNebatMotherZeruah Jeroboam I (/ˌdʒɛrəˈ...

Koungour

Cet article est une ébauche concernant une localité russe. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Koungour (ru) Кунгур Héraldique Koungour vue du ciel Administration Pays Russie Région économique Oural District fédéral Volga Sujet fédéral Kraï de Perm Maire Roman Kokcharov Code postal 617470 — 617475, 617480 Code OKATO 57 422 Indicatif (+7) 34271 Démographie Population 66 478...

Sherman W. Tribbitt

American politician Sherman W. Tribbitt67th Governor of DelawareIn officeJanuary 16, 1973 – January 18, 1977LieutenantEugene BookhammerPreceded byRussell W. PetersonSucceeded byPete du Pont17th Lieutenant Governor of DelawareIn officeJanuary 19, 1965 – January 21, 1969GovernorCharles L. Terry, Jr.Preceded byEugene LammotSucceeded byEugene BookhammerMember of the Delaware House of RepresentativesIn officeJanuary 8, 1957 - January 12, 1965January 12, 1971 - January 9, 1973...

告白実行委員会〜恋愛シリーズ〜

告白実行委員会〜恋愛シリーズ〜ジャンル学園、恋愛原作・音楽 HoneyWorks 小説：告白予行練習著者藤谷燈子・香坂茉里イラストヤマコ出版社 KADOKAWA レーベル角川ビーンズ文庫刊行期間 2014年2月 - 巻数既刊16巻（2022年11月現在）映画：ずっと前から好きでした。〜告白実行委員会〜原作 HoneyWorks 監督柳沢テツヤ脚本成田良美キャラクターデザイン藤井まき音...

Histoire de l'informatique

Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus. Cet article ne cite pas suffisamment ses sources (août 2018). Si vous disposez d'ouvrages ou d'articles de référence ou si vous connaissez des sites web de qualité traitant du thème abordé ici, merci de compléter l'article en donnant les références utiles à sa vérifiabilité et en les liant à la section « Notes et références ». En pratique : Quelles sources sont attendues ? Com...

NGC 6016

NGC 6016 جزء من عنقود كوما المجري الكوكبة الإكليل الشمالي[1] رمز الفهرس NGC 6016 (الفهرس العام الجديد)PGC 56410 (فهرس المجرات الرئيسية)UGC 10096 (فهرس أوبسالا العام)IRAS F15538+2706 (IRAS)2MASX J15555482+2657587 (Two Micron All-Sky Survey, Extended source catalogue)IRAS 15538+2706 (IRAS)MCG+05-38-001 (فهرس المجرات الموروفولوجي)SDSS J155554.86...