עקרון המילטון או עקרון הפעולה המינימלית הוא עיקרון פיזיקלי שמתוכו ניתן לגזור את משוואות התנועה של המכניקה הקלאסית. על פי הגישה המקובלת העיקרון אינו מכיל מידע פיזיקלי והצדקתו היא בעצם קבלת משוואות התנועה, אך ישנה גם גישה פיזקאלית המוצגת להלן (גישת היחסות המורחבת). הייחוד בעיקרון זה הוא שבעזרת הכללתו ושימוש בלגרנז'יאנים שונים, ניתן להכליל את המכניקה הקלאסית לכדי תורת שדות ובנוסף לכך, העיקרון תומך בצורה פשוטה במערכות בעלות אילוצים. שימוש באינטגרלי מסלול במכניקת הקוונטים מהווה הכללה של עקרון הפעולה המינימלית.

הרעיון צמח במהלך המאה ה-18 על ידי המתמטיקאי הצרפתי פייר לואי מופרטואי שלעיתים קרובות מיוחסת לו את המצאת "עקרון הפעולה המינימלית" או "עקרון מיעוט הפעולה" ;^[1] בגרסה המוכרת בתור העיקרון של מופרטואי (אנ')

מגדירים את הלגראנז'יאן של המערכת באופן הבא

$${\displaystyle \ L(x,{\dot {x}},t)=T-U=E_{k}(x,{\dot {x}},t)-E_{p}(x,{\dot {x}},t)}$$

לגודל זה קשה לתת משמעות אינטואיטיבית אבל באמצעות הלגראנז'יאן אפשר גם להגדיר את ההמילטוניאן על ידי

$${\displaystyle \ H=p{\dot {x}}-L}$$

כאשר ההמילטוניאן מייצג לרוב את האנרגיה הכוללת של המערכת.

הפעולה, שהיא האינטגרל על הלגראנז'יאן לאורך הזמן בו התרחשה התנועה תוגדר על ידי :

$${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{L(x,{\dot {x}},t)\ dt}}$$

עקרון המילטון קובע שהמערכת תנוע במסלול בו הפעולה תהיה סטציונרית, כלומר יתקיים התנאי ש

$${\displaystyle \ \delta S=0}$$

משמעותו המתמטית של תנאי זה היא שאין שינוי ב־${\displaystyle S}$ לכל וריאציה קטנה ב־${\displaystyle x}$.

אם כן, המשוואה ${\displaystyle \delta S=0}$ מהווה ניסוח שונה של חוקי הדינמיקה כך שכל מערכת הכפופה להם תנוע ממצבה בזמן ${\displaystyle t_{1}}$ למצבה החדש בזמן ${\displaystyle t_{2}}$ באופן שהפעולה בטווח זמן זה תהיה סטציונרית מתוך כלל פעולות ביתר הנתיבים האפשריים מבחינה קינמטית. הדרישה שלעיל היא כללית וחלשה יותר מאשר דרישה שהפעולה תהיה מינימלית. אם הפרש הזמנים ${\displaystyle t_{2}-t_{1}}$ הוא מספיק קטן אז נקודת הקיצון הוא מינימום אמיתי.

עבור מערכות פיזיקליות עם תנאי שפה קבועים (נקודת ההתחלה והסוף של המסלול קבועים) אפשר להראות בעזרת שיטות של חשבון וריאציות שהתנאי לכך שהמערכת תנוע במסלול ${\displaystyle x(t)}$ הוא שהפונקציה הנ"ל תקיים את המשוואה הדיפרנציאלית הבאה:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x}}=0}$$

משוואה זו ידועה כמשוואת אוילר לגראנז', ועבור מערכת עם n דרגות חופש, כל דרגת חופש מקיימת את המשוואה הזו (וכך מקבלים מערכת של n משוואות דיפרנציאליות מצומדות).

נניח שגוף נקודתי נע תחת השפעה של פוטנציאל משמר חד-ממדי, אזי מתקיים:

$${\displaystyle \ F(x)=-{\vec {\nabla }}V(x)=-V'(x)}$$

הלגראנז'יאן שלו יהיה:

$${\displaystyle \ L={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-V(x)}$$

נציב במשוואות אוילר-לגראנז':

$${\displaystyle \ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(m{\dot {x}}\right)=m{\ddot {x}}}$$

${\displaystyle \ {\frac {\partial L}{\partial x}}=-V'(x)}$ (כלל השרשרת)

ובסה"כ קיבלנו

${\displaystyle \ m{\ddot {x}}=-V'(x)=F(x)}$

או

${\displaystyle \ F=ma}$

וזהו החוק השני של ניוטון. נשים לב שחוק זה הוא משוואה דיפרנציאלית מסדר שני.

ישנה גישה פיזיקאלית להבנת עיקרון המילטון אותה ניסח פרופ' יעקב פרידמן^[2]

ניתן לתאר תנועה של גוף נקודתי באופן מלא על ידי קו במרחב-זמן.

התיאור יהיה מלא מכיוון שהוא גם מכיל את כל המיקומים שהגוף נמצא בהם, וגם באילו זמנים הוא נמצא בכל אחד מהמיקומים הללו.

נגדיר פרמטר כלשהו ${\displaystyle \sigma }$ איתו משתנה המסלול, (חשוב להדגיש, לפרמטר זה אין תכונה מיוחדת) ובאמצעותו נגדיר את המהירות:

$${\displaystyle {\textbf {u}}\equiv {\frac {d{\textbf {x}}}{d\sigma }}}$$

בנוסף ${\displaystyle {\hat {u}}}$ מוגדר להיות בכיוון המסלול.

נבחר 2 נקודות על המסלול: $${\displaystyle P={\textbf {x}},Q={\textbf {x}}+{\textbf {u}}d\sigma }$$

כאשר $${\displaystyle d\sigma \rightarrow 0}$$

נגדיר את פונ' הפעולה הגאומטרית להיות:

$${\displaystyle L({\textbf {x}},{\textbf {u}})=\lim _{d\sigma \rightarrow 0}{\frac {distance(P,Q)}{d\sigma }}}$$

נסביר: כאשר קיימים שדות במרחב, ניתן להתייחס לגוף המושפע מהשדות השונים כנע במרחב עקום, הפונקציה של המרחק (distance) עליה אנחנו מגדירים את הלגראז'יאן היא המרחק בין 2 הנקודות במרחב העקום. בחיי היומיום אנחנו רואים שגוף הנע במהירות קבועה, בכיוון מסוים, ימשיך לנוע במהירות קבועה באותו הכיוון ולא יסטה מקו ישר, אלא אם כן יפעלו עליו כוחות שסכומם לא שווה ל־0 (על פי החוק הראשון של ניוטון).נרחיב את מושג הקו הישר למרחבים שאינם ישרים, על ידי שמירת אחת התכונות של הקו הישר: הקו הישר הוא הקו שעובר במרחק הקצר בין שתי נקודות נתונות. לאחר הרחבת מושג הקו הישר ניתן להרחיב את החוק הראשון של ניוטון לכל מקרה בפיזיקה, וזאת כיוון שגופים שדוממים לא יכולים להחליט לנוע על דעת עצמם, על כן במרחב העקום אותו הם מרגישים הם נעים בקווים ישרים (בצורה המורחבת בה הגדרנו קווים ישרים).

על מנת לחפש את הקו המינ' הנ"ל תחילה נסכום מרחקים באופן אינפי' על ידי פונ' פעולה הגאומטרית שהגדרנו:

${\displaystyle S[{\textbf {x}}(\sigma )]\equiv \int _{\sigma _{1}}^{\sigma _{2}}L\left({\textbf {x}}(\sigma ),{\frac {d{\textbf {x}}(\sigma )}{d\sigma }}\right)d\sigma }$

לS נקרא פעולה גאומטרית.

לאחר מכן נחפש את הווריאציה בה המסלול שנקבל הוא מינ', כלומר, בו הגוף ינוע בקווים ישרים בעולם העקום שלו:

${\displaystyle \left.{\frac {d}{d{\varepsilon }}}\right|_{\varepsilon =0}S[{\textbf {x}}(\sigma )+\varepsilon h(\sigma )]=0}$

וכך מקבלים את עיקרון המילטון באמצעות ההרחבה שביצענו לחוק ניוטון הראשון.

• חשבון וריאציות
• לגראנז'יאן
• עקרון ד'אלמבר

• הדגמות והסברים מורחבים באתרו של פרופ' אדווין טיילור מ-MIT