מרחב עקום מתייחס לרוב לגאומטריה מרחבית שאינה "שטוחה". מרחב שטוח הוא מרחב בעל עקמומיות אפס, כפי שמתואר בגאומטריה אוקלידית.^[1] בדרך כלל מתארים מרחבים עקומים באמצעות גאומטריה רימאנית, אם כי ניתן לתאר כמה מקרים פשוטים בדרכים אחרות. מרחבים עקומים ממלאים תפקיד מהותי בתורת היחסות הכללית, כאשר כוח הכבידה מתואר לעיתים קרובות באמצעות מרחב עקום.^[2] מטריקת פרידמן-למטר-רוברטסון-ווקר היא מטריקה עקומה, המהווה את הבסיס הנוכחי לתיאור התפשטות היקום.^[3] העובדה שלמרות שלפוטונים אין מסה, הם מושפעים מכוח הכבידה, פירושה שההסבר צריך להיות משהו מלבד מסה פוטונית. מכאן הרעיון שגופים מסיביים מעקמים את המרחב-זמן. ולכן אור, המתקדם במרחב-זמן עקום, ייראה ככפוף לכוח הכבידה.

פני השטח של כדור מהווים דוגמה קלאסית למרחב עקום. למרות שהכדור עצמו נתפס כתלת־ממדי, אובייקט המוגבל לפני השטח שלו יכול לנוע במרחב דו־ממדי בלבד. ניתן לתאר את פני השטח של הכדור באמצעות שני ממדים, כיוון שמדובר במשטח. אפילו פני השטח של כדור הארץ, למרות מורכבותם הפרקטלית, מהווים בסופו של דבר גבול דו־ממדי שתוחם נפח מסוים.^[4]

אחד המאפיינים המגדירים של מרחב עקום הוא שמשפט פיתגורס לא מתקיים במרחב עקום. כלומר, במרחב עקום

${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}\neq dl^{2}}$ .

לעיתים קרובות ניתן ל"הציל" את משפט פיתגורס על ידי הוספת מימד לתיאור המרחב. נניח מרחב תלת-ממדי לא אוקלידי עם קואורדינטות ${\displaystyle \left(x',y',z'\right)}$. מכיוון שהמרחב אינו שטוח

${\displaystyle dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}\neq dl'^{2}\,}$ .

אם נוסיף למרחב מימד נוסף ונייצג את המרחב כמרחב ארבע ממדי (${\displaystyle x,y,z,w}$) נוכל לבחור קואורדינטות ${\displaystyle w}$ כך ש

${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+dw^{2}=dl^{2}\,}$ .

מובן שהקואורדינטה ${\displaystyle x}$ אינה זהה לקואורדינטה ${\displaystyle x'}$ וכנ"ל לשתי הקואורדינטות ${\displaystyle y}$ ו ${\displaystyle z}$.

כדי שהיצוג הארבע-ממדי ייתארו באופן נאמן את המרחב התלת-ממדי המקורי, עליו להיות בעל אותו מספר דרגות חופש. מכיוון שלמרחב ארבע ממדי יש ארבע דרגות חופש, יש להטיל עליו אילוץ. למשל, ניתן להטיל אילוץ הדורש את קיום משפט פיתגורס במרחב הארבע ממדי החדש. כלומר

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}={\textrm {constant}}\,}$ .

הקבוע יכול להיות חיובי או שלילי. מקובל לבחור את הקבוע להיות

${\displaystyle \kappa ^{-1}R^{2}}$ כאשר ${\displaystyle R^{2}\,}$ הוא חיובי ו ${\displaystyle \kappa =\pm 1}$ .

ניתן להשתמש באילוץ הזה כדי להסיר את הקואורדינטה הרביעית, המלאכותית, ${\displaystyle w}$. הדיפרנציאל של משוואת האילוץ הוא

${\displaystyle xdx+ydy+zdz+wdw=0\,}$ כלומר ${\displaystyle dw=-w^{-1}(xdx+ydy+zdz)\,}$ .

הצבה של ${\displaystyle dw}$ במשוואה המקורית נותן

${\displaystyle dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+{\frac {(xdx+ydy+zdz)^{2}}{\kappa ^{-1}R^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}}$ .

צורה זו בדרך כלל אינה אסתטית במיוחד, ולכן עוברים לרוב לקואורדינטות הכדוריות ${\displaystyle r,\theta ,\phi }$ כאשר ${\displaystyle x=r\sin \theta \cos \phi }$, ${\displaystyle y=r\sin \theta \sin \phi }$, ${\displaystyle z=r\cos \theta }$ . עם טרנספורמצית הקואורדינטות הזו מקבלים

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-\kappa {\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$ .

ניתן לתאר את הגאומטריה של מרחב n-ממדי באמצעות גאומטריה רימאנית. ניתן לתאר מרחב איזוטרופי והומוגני על ידי המטריקה:

${\displaystyle dl^{2}=e^{-\lambda (r)}{dr^{2}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\,}$ .

זה מצטמצם למרחב אוקלידי כאשר ${\displaystyle \lambda =0}$ . אבל ניתן לומר שמרחב הוא "שטוח" כאשר כל הרכיבים של טנזור וייל (אנ') מתאפסים. במרחב תלת־ממדי תנאי זה מתקיים כאשר טנזור העקמומיות של ריצ'י (אנ') (${\displaystyle R_{ab}}$) שווה למטריקה המוכפלת בסקלר של ריצ'י (אנ') (לא להתבלבל עם ${\displaystyle R}$ של הסעיף הקודם). זה ${\displaystyle R_{ab}=g_{ab}R}$ . חישוב של רכיבים אלה מתוך המדד נותן

${\displaystyle \lambda =-{\frac {1}{2}}\ln \left(1-kr^{2}\right)}$ כאשר ${\displaystyle k\equiv {\frac {R}{2}}}$ .

זה נותן את המטריקה

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-k{r^{2}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$ .

כאשר ${\displaystyle k}$ יכול להיות אפס, חיובי או שלילי ואינו מוגבל ל-±1.

ניתן לתאר מרחב איזוטרופי והומוגני על ידי המטריקה

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-\kappa {\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$ .

בגבול שבו קבוע העקמומיות (${\displaystyle R}$) גדל לאינסוף, מתקבל מרחב אוקלידי שטוח. גבול זה שקול למקרה ${\displaystyle \kappa =0}$. אם ${\displaystyle \kappa }$ אינו אפס המרחב אינו אוקלידי. כאשר ${\displaystyle \kappa =+1}$ אומרים שהמרחב סגור או אליפטי. כאשר ${\displaystyle \kappa =-1}$ אומרים שהחלל פתוח או היפרבולי .

סכום הזוויות של משולש, השוכן על פני משטח של מרחב פתוח, יהיה קטן מ-180°. סכום הזוויות של משולש, השוכן על פני משטח של מרחב סגור, יהיה גדול מ-180°.

• CAT( k) רווח

• הרצאות פיינמן על פיזיקה כרך 2. II Ch. 42: מרחב עקום

• Curved Spaces, מדמה ליקומים מקושרים שפותח על ידי ג'פרי וויקס