במתמטיקה, מרחבי (CAT(k הם מרחבים מטריים מטיפוס מיוחד: המשולשים שלהם "דקים" יותר ממשולשי-ההשוואה במרחב סטנדרטי בעל עקמומיות קבועה k. העקמומיות של מרחבי ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}$ היא לכל היותר k בכל נקודה. את המונח ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}$ טבע מיכאיל גרומוב ב-1987, כראשי-תיבות של המתמטיקאים אלי קרטן (C), אלכסנדר אלכסנדרוב (A) וויקטור אנדרייביץ' טופונוגוב (T).

ההפרדה האמיתית היא בין המקרים k<0, k=0 ו- k>0, מכיוון שמרחבי ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}$ אפשר לכייל למרחבי ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k')}$ אם לשני הפרמטרים k ו- 'k אותו סימן. מרחבי (CAT(0 שלמים קרויים גם "מרחבי אדמר", על-שם המתמטיקאי הצרפתי ז'אק אדמר.

עבור מספר ממשי k, מסמנים ב- ${\displaystyle \ M_{k}}$ את המשטח היחיד שהוא פשוט קשר בעל עקמומיות קבועה k. לדוגמה, ${\displaystyle \ M_{0}}$ הוא המישור האוקלידי ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{2}}$ עם המטריקה הרגילה שלו; ${\displaystyle \ M_{1}}$ הוא ספירת היחידה במרחב האוקלידי התלת-ממדי, ו- ${\displaystyle \ M_{-1}}$ הוא המישור ההיפרבולי.

אם k>0, הקוטר של המרחב הוא ${\displaystyle \ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}}$ (אחרת הקוטר אינסופי).

נקבע k ממשי. נניח ש- X הוא מרחב מטרי ו- T משולש שקודקודיו p,q,r; אם k>0, נניח שקוטר המשולש אינו עולה על ${\displaystyle \ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}}$. אז קיים ב-${\displaystyle \ M_{k}}$ משולש יחיד, עד כדי איזומטריה, שבו המרחקים בין הקודקודים שווים לאלה של T. משולש זה נקרא משולש ההשוואה של T.

נניח ש-${\displaystyle \ (X,d)}$ הוא מרחב גאודזי, כלומר, מרחב מטרי שבו יש מסילה גאודזית המחברת כל שתי נקודות (מסילה גאודזית היא פונקציה ${\displaystyle \ \gamma :[a,b]\rightarrow X}$, כאשר ${\displaystyle \ [a,b]}$ הוא קטע על הישר הממשי, והמרחק מקיים ${\displaystyle \ d(\gamma (t),\gamma (s))=|t-s|}$ לכל ${\displaystyle \ a\leq t\leq s\leq b}$). אומרים שמשולש גאודזי D במרחב X (משולש שצלעותיו הן מסילות גאודזיות המחברות את הקודקודים) מקיים את "תנאי ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}$", אם המרחק בין כל שתי נקודות על הצלעות של D קטן או שווה למרחק בין הנקודות המתאימות על משולש ההשוואה שלו, 'D במרחב ${\displaystyle \ M_{k}}$.

המרחב X נקרא מרחב ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}$, אם כל משולש גאודזי (שקוטרו, אם k>0, אינו עולה על ${\displaystyle \ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}}$), מקיים את תנאי ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}$. אומרים שמרחב מטרי (אפילו אם אינו גאודזי) הוא "בעל עקמומיות k לכל היותר", אם לכל נקודה שלו יש סביבה קמורה-גאודזית (סביבה הכוללת עם כל שתי נקודות גם קו גאודזי המחבר אותן), המקיימת את תנאי ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}$. מרחב בעל עקמומיות 0 לכל היותר הוא "מרחב בעל עקמומיות שאינה חיובית".

התנאי ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}$ הולך ומתחזק כאשר k מקבל ערכים נמוכים יותר: אם ${\displaystyle \ k<k'}$, אז כל מרחב ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}$ הוא גם מרחב ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k')}$. מאידך התכונה סגורה במובן הבא: מרחב שהוא ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k')}$ לכל ${\displaystyle \ k<k'}$, הוא גם ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}$.

המרחב ${\displaystyle \ M_{k}}$ הוא ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}$.

המרחב האוקלידי ${\displaystyle \ \mathbb {E} ^{n}}$ (מכל ממד) הוא ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)}$. המרחב ההיפרבולי ${\displaystyle \ \mathbb {H} ^{n}}$ (מכל ממד) הוא ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(-1)}$. ספירת היחידה ${\displaystyle \ \mathbb {S} ^{n}}$ (בכל ממד) היא ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(1)}$ (אבל לא ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)}$). ספירה ברדיוס r (ולכן מעקמומיות ${\displaystyle \ {\frac {1}{\sqrt {r}}}}$) היא ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}({\frac {1}{\sqrt {r}}})}$. כל מרחב נורמי המקיים איזשהו תנאי ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}$ הוא מרחב מכפלה פנימית.

אם מנקבים את המישור האוקלידי בנקודה, המרחב הנותר אינו גאודזי, ולכן אינו ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)}$. מאידך, לכל נקודה יש סביבה קמורה-גאודזית שהיא ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)}$, ולכן המישור המנוקב הוא מרחב בעל עקמומיות שאינה חיובית.

עץ הוא מרחב ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}$ לכל k.

כל מרחב ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}$, עבור k<0, הוא מרחב ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)}$. בפרט, מרחבים כאלו הם כוויצים.

יהי X מרחב ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}$.

• בין כל שתי נקודות (ממרחק שאינו עולה על ${\displaystyle \ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}}$ אם k>0) מחברת מסילה גאודזית יחידה. יתרה מזו, המסילה משתנה באופן רציף עם שינוי נקודות הקצה שלה.
• כל עקום (שאורכו אינו עולה על ${\displaystyle \ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}}$ אם k>0), שהוא גאודזי-מקומית, הוא עקום גאודזי.
• כדור פתוח (ברדיוס שאינו עולה על ${\displaystyle \ {\frac {1}{2}}{\frac {\pi }{\sqrt {k}}}}$ אם k>0) הוא קמור-גאודזית.
• כדורים (שרדיוסם אינו עולה על ${\displaystyle \ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}}$ אם k>0) הם כוויצים.
• נקודות שאינן רחוקות משני קצות קטע, קרובות לאמצע הקטע, במובן הבא: לכל a (שאינו עולה על ${\displaystyle \ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}}$ אם k>0) ולכל ${\displaystyle \ \epsilon >0}$ קיים ${\displaystyle \ \delta >0}$, כך שאם m היא נקודת האמצע של העקום הגאודזי המחבר את הנקודות x ו-y, אז כל נקודה שמרחקה מ-x ומ-y אינו עולה על ${\displaystyle \ {\frac {1}{2}}d(x,y)+\delta }$, נמצאת במרחק ${\displaystyle \ \epsilon }$ לכל היותר מ-m.

• מתכונות אלה נובע שאם ${\displaystyle \ k\leq 0}$, מרחב הכיסוי האוניברסלי של מרחב ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}$ הוא כוויץ. בפרט, חבורות ההומוטופיה, מן השנייה ואילך, הן טריוויאליות. הספירות ${\displaystyle \ \mathbb {S} ^{n}}$ מראות שתכונות אלה אינן מתקיימות כאשר k>0. למעשה, מרחב הכיסוי האוניברסלי של כל מרחב בעל עקמומיות שאינה עולה על k (כאשר k שלילי) הוא מרחב ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}$.

כל מרחב ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}$ (עבור ${\displaystyle \ k<0}$) הוא מרחב היפרבולי. מרחב ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)}$ הוא היפרבולי אם ורק אם אין לו תת-מרחב איזומטרי למישור האוקלידי ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{2}}$ (עם המטריקה הרגילה).

• מרחב (CAT(0