רבי משה אדרעי נולד לרבי יצחק ומרים בשנת ה'תקל"ה, בעיר אגדיר שבמרוקו. בעודו רך לימים עברה המשפחה, יחד עם שאר יהודי אגדיר, אל העיר אסואירה, שם קיבל את ראשית חינוכו. בגיל תשע התייתם מאביו. בשלב מסוים התעוררה בו שאיפה לנסוע אל העיר רבאט וללמוד שם אצל חכמי המקום, שהיו נחשבים בעיניו ללמדנים יותר מאלו שבאסואירה. ברבאט התגורר שם אצל דודו, אחי אביו, רבי מסעוד אדרעי. דודו השגיח על מילוי כל צרכיו ושלח אותו לבית הספר ללימודי קודש. לאחר תקופה למד ברבאט במשך כשלוש שנים, בישיבה של מי שהחשיב לרבו המובהק, רבי יהודה אנהורי שהתיישב בעיר סאלי הסמוכה.[1] לאחר מכן חזר לאסואירה כדי לראות את אמו ואת אחיו והזדעדזע למראה העוני והרעב שבו היו מצויים. מראות אלו הביאו אותו לצאת ממרוקו, בתקווה למצוא עבור משפחתו מקור פרנסה. לפי עדותו כבר מעת שהיה צעיר לימים היה דורש ברבים בקהילות רבות שבהן הופיע.
בלונדון
לאחר נדודים במקומות שונים התיישב בלונדון. בשבתו בעיר, למד בבית המדרש "עץ חיים" של הקהילה הספרדית "שער השמים" וכאן נשא את אשתו. בשנת ה'תקנ"ב הדפיס בלונדון את הספר "תורת חיים" - הכולל סדרי לימוד ללילות שישי, על מנת שמכירת הספר תביא לו למשפחתו שבמרוקו מקור פרנסה.
באמסטרדם
לאחר מספר שנים היגר לאמסטרדם ולמד שם בבית המדרש "עץ חיים". הוא התאלמן שם מאשתו ונשא שם מבנות המקום. באמסטרדם עבד למחייתו כמגיה ספרים. בין הספרים שהגיה היו ספריו של המשורר הגדול של יהדות מרוקו - רבי דוד בן חסין (בשנת ה'תקס"ז). בנוסף עבד במקום כמורה לשפות וכמתורגמן. הוא הדפיס ויצר שם כמה מחיבוריו: SERMON MORAL - דרשת מוסר, בספרדית, אותה נשא לרגל חנוכת בית המדרש של "עזרת חולים" (נדפס ה'תקס"ב). "יד משה" - דרשות (נדפס ה'תקס"ט). ספר נוסף שהקנה לו פרסום בין היהודים והנוצרים הוא "מעשה נסים" (נדפס ה'תקע"ח). הספר כולל אנתולוגיה מספרות ישראל ואומות העולם אודות סיפוריהם של עשרת השבטים האבודים הנמצאים מעבר לנהר הסמבטיון. הספר זכה למספר רב של מהדורות בעברית, לעיתים תחת השם "שארית ישראל", וכן לתרגומים לגרמנית, ערבית יהודית (אלג'יר, ה'תרי"ד) ויידיש. מהדורה נרחבת של הספר באנגלית, שנכתבה על ידי המחבר, זיכתה אותו במכתבי תהילה רבים ממלומדים ואנשי דת, אנגלים, הולנדים וצרפתים.מלרגל ההוצאה האנגלית הוא שהה בלונדון בשנות ה-30 של המאה ה-19. באותה התקופה הוציא לאור גם מפה של מקדש יחזקאל. מהדורה משוכללת ונרחבת יותר של הספר יצאה על ידי בנו יצחק אדרעי, בתוספת פרקים על ההיסטוריה של הטורקים.
בצרפת
בשנת ה'תקע"ז שהה בפריז ושם נישא בנו יצחק לאחת מבנות המקום.[2]
באזמיר
בשלב מסוים החליט לממש את שאיפת חייו עוד מימי נעוריו ולהגר לירושלים. מאמסטרדם נסע עם אשתו כשהוא מותיר במקום את בנו אברהם שסירב להצטרף למסע. בגלל חוליו הנסיעה לירושלים לא הייתה רציפה אלא עברה דרך ערים רבות בעולם, כאשר בכמה תחנות הוא שהה זמן ממושך. בהגיעם לעיר מרסיי בנו יצחק בחר שלא להמשיך במסע והשתקע במקום יחד עם אשתו. החולי של רבי משה התגבר כאשר הגיע עם אשתו לאזמיר ובשל כך הם שהו במקום כתשעה חודשים. בי' באבה'תר"א (1841) פרצה שריפה שכילתה כתבים רבים של רבי משה הכוללים דרשות, ביאורי תנ"ך ותלמוד, ופסיקה הלכתית. בשנת ה'תר"ב מסר שם להדפסה את כתב היד של ספרו "שפה ברורה" - ספר דקדוק לשון אנגלית וצרפתית, כתוב בלאדינו. הספר לא נדפס.[3]