מספר מעניין הוא מספר, מתוך אינסוף המספרים, שתכונותיו הופכות אותו למעניין יחסית למספרים אחרים בקבוצת המספרים האינסופית שהוא נכלל בה. עניין הוא מאפיין סובייקטיבי, אך ישנם מספרים שלגביהם מתקיימת הסכמה רחבה שהם מעניינים.

הסובייקטיביות שבמושג "מספר מעניין" מומחשת באנקדוטה שסיפר המתמטיקאי גודפרי הרולד הארדי על ביקור חולים שערך אצל המתמטיקאי סריניוואסה רמנוג'אן:

אני זוכר שנסעתי לבקרו במיטת חוליו בפוטני. נסעתי במונית שמספרה 1729, והערתי שזה מספר משעמם למדי, ושאני מקווה שזה איננו סימן רע. "לא", הוא ענה, "זה מספר מעניין מאוד; זה המספר הקטן ביותר שניתן לבטאו כסכום של שתי חזקות שלישיות בשתי דרכים שונות [12³ + 1³ = 10³ + 9³]".

— גודפרי הרולד הארדי^[1]

זהות אוילר, ${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,\!}$, כורכת יחד חמישה מספרים מעניינים.

פרדוקס המספרים המעניינים הוא פרדוקס מילולי, הנובע מהניסיון לסווג את המספרים הטבעיים למספרים "מעניינים" ו"לא מעניינים".

בנוסף למספרים שהם מעניינים בזכות התכונות המתמטיות שלהם, יש מספרים ההופכים למעניינים בזכות תכונות טבעיות שלהם (תכונות פיזיקליות, כימיות וכדומה) או תכונות חברתיות. כך, למשל, ניתן לראות את המספרים הטבעיים מ-1 עד 118 כמספרים מעניינים בהיותם מספרים אטומיים. השיר "אחד מי יודע" מציג 13 מספרים מעניינים בתרבות היהודית.

בקבוצת המספרים הטבעיים, שעוצמתה ${\displaystyle \!\,\aleph _{0}}$, מספרים נחשבים למעניינים כאשר הם הקטנים ביותר בעלי תכונה מסוימת, למשל המספר המשוכלל הקטן היותר (6). ויש שיחלקו ויגידו שכאשר זו תכונה מעניינת, כל המספרים בעלי תכונה זו, שצפיפותה נמוכה, למשל כל המספרים הראשוניים, הם מספרים מעניינים.

גם המספרים הגדולים ביותר הידועים לאדם כבעלי תכונה מסוימת נחשבים מספרים מעניינים. כאשר ידוע שקבוצת כל המספרים בעלי תכונה זו היא קבוצה אינסופית, התואר "המספר הגדול ביותר הידוע לאדם בעל תכונה זו" הוא תואר זמני, משום שהתפתחות יכולת החישוב מובילה לגילוי מספרים גדולים יותר בעלי התכונה האמורה. ראו למשל החיפוש אחר מספרי מרסן ראשוניים.

דוגמאות:

• 0 : המספר הסודר הקטן ביותר, וכמציין כמות הוא מציין את מספר האיברים בקבוצה הריקה.
• 1 : האיבר הנייטרלי ביחס לכפל.
• 2 : המספר הזוגי הקטן ביותר, המספר הראשוני הקטן ביותר.
• 3 : ראשוני מרסן (2²-1) הקטן ביותר.
• 10 : הבסיס של השיטה העשרונית.
• 100 : 10 בריבוע.
• 142,857 : המספר הציקלי הקטן ביותר בשיטה העשרונית
• גוגול : 10¹⁰⁰

ראו גם: קטגוריה:מספרים טבעיים.

קבועים מתמטיים, שרבים מהם הם מספרים טרנסצנדנטיים, הם מספרים מעניינים, מעצם העובדה שניתן להם שם, בניגוד לאינסוף (מעוצמת הרצף) המספרים הממשיים שלא זכו לשם.

דוגמאות למספרים אלגבריים:

• ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ : המספר הממשי החיובי שכאשר יוכפל בעצמו, התוצאה תהיה שווה ל-2. זהו ככל הנראה המספר האי-רציונלי הידוע הראשון.
• יחס הזהב : מספר אי-רציונלי המסומן באות היוונית פי (${\displaystyle \phi }$ ולעיתים ${\displaystyle \Phi }$):

${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{.}6180339887498948482045868343656\dots }$. יחס הזהב הוא הפתרון החיובי של המשוואה: ${\displaystyle \ x^{2}=x+1}$

• הקבוע הפלסטי : אחד משלושת הפתרונות של המשוואה ממעלה שלישית ${\displaystyle x^{3}=x+1\,}$, והיחיד מביניהם שהוא מספר ממשי. ערכו הוא:

${\displaystyle \psi ={\frac {{\sqrt[{3}]{108+12{\sqrt {69}}}}+{\sqrt[{3}]{108-12{\sqrt {69}}}}}{6}}\,\approx 1.324718...}$

ראו גם: קטגוריה:מספרים אלגבריים

דוגמאות למספרים טרנסצנדנטיים:

• קבוע ליוביל : ${\displaystyle \ c=\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.110001000000000000000001000\ldots }$ הספרה 1 מופיעה בפיתוח העשרוני של המספר במקום ה-${\displaystyle \ j!}$ לאחר הנקודה העשרונית לכל ${\displaystyle j}$ טבעי, ובכל מקום אחר מופיעה הספרה 0.
• e : בסיס הלוגריתם הטבעי.
• π : היחס בין היקף המעגל לקוטרו.
• קבוע גלפונד : ${\displaystyle e^{\pi }}$
• קבוע צ'אמפרנאוונה המסומן כ-${\displaystyle C_{10}}$ : מספר ממשי שהצגתו העשרונית מתקבלת מהדבקת ההצגה של המספרים הטבעיים בזה אחר זה:

${\displaystyle C_{10}=0.12345678910111213141516\dots }$.

ראו גם: קטגוריה:מספרים טרנסצנדנטיים.

• i הוא היחידה המדומה, מקיים: ${\displaystyle i^{2}=-1\;\!}$
• המספרים ${\displaystyle e^{i2\pi k/n}=\cos(2\pi k/n)+i\sin(2\pi k/n)}$ כאשר ${\displaystyle k=0,1...,n-1}$ הם שורשי היחידה מסדר ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, כלומר: השורשים של ${\displaystyle z^{n}-1=0}$. במישור המרוכב מספרים אלו יוצרים מצולע משוכלל בן n צלעות שקודקודיו נמצאים על מעגל היחידה.

• מספר טיפולוגי

• דייוויד וולס, ספר המספרים המשונים והמעניינים, הוצאת מי-אן, 2002