דויד ליקו אמאר נולד במשפחה יהודית, אביו היה סוחר יהודי ממקדוניה, שהייתה אז חלק מהאימפריה העות'מאנית. אביו התיישב בבודפשט טרם לידתו.
אמאר סיים את בית הספר התיכון בבודפשט ובשנת 1909 הפך לתלמידו של אמיל בארה ב"מוזיקה הלאומית". ב-1911 נסע לברלין, שם למד אצל אנרי מרטו (אנ') באקדמיה למוזיקה. בשנה שלאחר מכן ניגן ברביעיית המיתרים של המאסטרו שלו. ב-1912 קיבל מלגת פליקס מנדלסון.
בשנת 1921, פאול הינדמית נזקק בדחיפות לרביעיית מיתרים לפסטיבל המוזיקה שלו פסטיבל דונאואשינגן. הוא הזמין את אמאר, שלא הכיר לפני כן את הינדמית, להיות מנהיג ההרכב המזדמן. ברביעייה, שהוקמה רשמית רק בשנה שלאחר מכן, ניגנו וולטר קספר ככינור השני, הינדמית בוויולה ורודולף הינדמית (Rudolf Hindemith), אחיו של פאול, בצ'לו. עד לפירוק הרביעייה ב-1933, רק האחים התחלפו בלהקה. באפריל 1929 הוחלף פאול על ידי אריך קראק (Erich Kraak) ורודולף על ידי מאוריץ פרנק (אנ'). לאורך כל קיומם, הם ראו כמשימתם את קידום המוזיקה של התקופה.
אמאר קיבל אזרחות גרמנית ב-1927. משנת 1929 היה כנר סולו של תזמורת ה-Südwestdeutsche Rundfunk בפרנקפורט אם מיין. לאחר ההשתלטות הנאצית איבד את עבודתו ב-28 ביוני1933 ואת אזרחותו בשנה שלאחר מכן, כתוצאה מחוקי אפליית ודיכוי היהודים. הוא נסע תחילה לפריז, ולאחר מכן לאיסטנבול ב-1935 כתוצאה מהזמנה לארגן מחדש את החינוך הטורקי למוזיקה. בנוסף להוראה, הוא נתן גם שם קונצרטים. הוא חתם חוזה עם הינדמית כיועץ ממשלתי לעבודה הקשורה לרפורמה בחינוך. משנת 1938 לימד כינור ומוזיקה קאמרית בקונסרבטוריון הממלכתי של אנקרה. בין תלמידיו היו סונה קאן (אנ') וגילדן טוראלי (Gülden Turalı). הוא הקים גם מכון להכשרת מורים למוזיקה. לאחר מלחמת העולם השנייה הוא כבר ארגן את ההכשרה בשיתוף פעולה גרמני-טורקי.
בספטמבר 1957 התגשם חלומו הישן: הוא הורשה לחזור לגרמניה. החזיר לעצמו את אזרחותו הגרמנית וקיבל תפקיד הוראה באקדמיה למוזיקה בפרייבורג. הוא נתן גם שם קונצרטים באופן קבוע, התוכנית שלו כללה בעיקר יצירות בני זמנו שהיו כל כך יקרות לו. תקופתו השנייה בגרמניה, בקושי בת שנתיים, נקטעה במותו.
אמאר קיבל את צלב המפקד של מסדר המצוינות של הרפובליקה הפדרלית של גרמניה.
Werner Röder; Herbert A. Strauss, (ed.), Biographisches Handbuch der deutschsprachigen Emigration nach 1933 / International Biographical Dictionary of Central European Emigrés 1933–1945. Vol II, 1 Munich : Saur 1983 ISBN 3-598-10087-6, p. 24.
Salomon Wininger: Große jüdische National-Biographie. Kraus Reprint, Nendeln 1979, ISBN 3-262-01204-1 (Nachdr. d. Ausg. Czernowitz 1925). Vol. 7, p. 512.
Arnold Reisman: Post-Ottoman Turkey : classical European music & opera. (Nachdr. d. Ausg. Czernowitz 1925). Vol. 7, p. 512.
Angelika Rieber: "Hier gibt es eine Welt aufzubauen." Biographisches zu dem Geiger Licco Amar, in Hindemith-Jahrbuch, Mainz 2009.