קליינהייזלר הגיע בגיל 16 למחלקת הנוער של MOL וידי בה שיחק שנתיים. בשנת 2012 חתם בפושקאש אקדמיה מהליגה ההונגרית השנייה בה רשם 27 הופעות וכבש 8 שערים במהלך עונת 2012/2013 ובסיום העונה רשם עימה עלייה לליגת העל ההונגרית לראשונה בתולדות המועדון. לאחר עונה מוצלחת בפושקאש, חזר קליינהייזלר ל-MOL וידי. ב-28 ביולי2016 ערך את הופעת הבכורה שלו במועדון בניצחון 0-2 נגד סומבטהי האלאדס בה גם כבש את שער הבכורה שלו במועדון. במהלך עונת 2014/2015 חלה ירידה משביעות רצונו של קליינהייזלר על מעמדו בקבוצה ובינואר 2015 הושאל לפושקאש עד לסיום העונה.
ב-20 בינואר2016 חתם ל-3.5 שנים בוורדר ברמן מהבונדסליגה. 10 ימים לאחר מכן, ערך את הופעת הבכורה שלו במשחק הליגה נגד הרטה ברלין. קליינהייזלר נכנס כמחליף בדקה ה-62 של המשחק במצב של 2-0 להרטה, אך כניסתו למגרש הצליחה להשפיע על מהלך המשחק וברמן הצליחה להשוות ל 3-3.
ב-14 באוגוסט הושאל לדרמשטאדט 98, שם שיחק חצי עונה, ערך 12 הופעות והבקיע שער אחד. בפגרת החורף של העונה עזב את דרמשטאט והושאל לפרנצווארוש ההונגרית.
ב-6 בנובמבר2015 קליינהייזלר זומן לראשונה לסגל נבחרת הונגריה למרות שלא רשם ולו דקת משחק אחת בליגה. 6 ימים לאחר מכן ערך את הופעת הבכורה שלו בנבחרת בה גם כבש את שער הבכורה שלו שהביא לנבחרתו ניצחון במשחק הראשון של פלייאוף מוקדמות יורו 2016 נגד נורווגיה. הונגריה העפילה לטורניר הגמר וקליינהייזלר נכלל בסגל הנבחרת לקראת יורו 2016. נכלל בסגל נבחרת הונגריה ליורו 2020. נכלל בסגל נבחרת הונגריה ליורו 2024. [1]