בשה החל לשחק כדורגל בקבוצת הילדים של הפרבר צפל, שבבודפשט עיר הולדתו. לאחר מכן, עבר למחלקת הילדים של פרנצווארוש, ומשם עבר למחלקת הנוער של מ.ט.ק. בודפשט ב-2008. בעונת 2011–2012, שותף לראשונה בקריירה במשחקים מקצועניים, כאשר נטל חלק ב-2 משחקי ליגת העל ההונגרית במדי הקבוצה הבוגרת של מועדונו. בעונות שלאחר מכן, שותף ביותר ויותר משחקי ליגה, כאשר קודם להרכב הרשמי של המועדון בעונת 2014-2015, בה שותף ב-33 משחקי ליגה.
קריירה בינלאומית
ברנבאש ערך את הופעת הבכורה שלו עבור הנבחרת ההונגרית ב-4 ביוני2016, במשחק הכנה לקראת טורניר יורו 2016 מול גרמניה, את המשחק הפסידה הונגריה בתוצאה 2-0. כחלק מסגל הנבחרת ההונגרית לטורניר היורו 2016, שותף בשה ב-22 ביוני 2016 במשחקה האחרון של נבחרתו בשלב הבתים מול פורטוגל, שנגמר בתוצאה 3-3.
