אנגלמן למד כשבע שנים בישיבת הכותל בירושלים. בשל שאיפתו שלא להתפרנס מלימוד תורה הקים בצעירותו חברת ניקיון. לאחר מכן לימד בישיבת הכותל, ישיבת עתניאל וישיבת שיח יצחק, וכן בבתי מדרש אורתודוקסים-פלורליסטיים כמו "חברותא" ו"קולות". שיעוריו עוסקים בתלמוד, חסידות וקבלה, עם פרשנות פסיכולוגית פילוסופית.
בין השנים 1998–2000 שימש כרב קהילת יקר בלונדון. לאחר מכן הקים עם הרב מיקי רוזן את קהילת יקר בתל אביב[1], שם שימש כרב עד שנת 2012.
בתחילת שנות ה-90 בירושלים, החל אנגלמן להקליט את יצירותיו המוזיקליות. הוא מלחין ושר מוזיקה חסידית ישראלית-עכשווית. המוזיקה שלו מלודית ושקטה לרוב, וניכרת בה השפעה של ניגונים חסידיים דוגמת ניגוני ברסלב וחב"ד מחד, ומאידך של אמנים כגון לאונרד כהן ופינק פלויד.
דיסקוגרפיה
שיר השירים (1988). עיבודים והפקה מוזיקלית: עובד אפרת
יהושע אנגלמן – האוסף (1993). שירים שהקליט בשנים 1989–1991, עיבוד והפקה מוזיקלית: אנדרה היידו, עוזי חיטמן
אנגלמן התמחה כמטפל גשטאלט ועשה לימודי השלמה לפסיכותרפיה בריג'נטס קולג' בלונדון ובמסגרות שונות בישראל. בין היתר עסק בטיפול בתחנה לבריאות הנפש בירושלים.
כיום הוא עוסק בעיקר בפסיכותרפיה, לצד עיסוקיו התורניים והמוזיקליים.
חיים אישיים
אנגלמן נולד בלונדון בשנות השישים ועלה ארצה יחד עם משפחתו בהיותו בן 12. התגורר בעבר בתקוע, כליל, תל אביב, וכעת גר בירושלים. הוא גרוש, ויש לו שלושה בנים.
