בגיל 7 הצטרף למחלקת הנוער של ראסינג גנק. בגיל 17 בשנת 2009 עלה לקבוצת הבוגרים של המועדון.
ב-17 באפריל 2009 ערך את הופעת הבכורה שלו בקבוצה הבוגרת כששיחק נגד גנט. היה זה משחקו היחיד באותה עונה. בעונה שלאחר מכן, בעונת 2009/2010 לא זכה כלל לדקות משחק. בעונה שלאחר מכן קודם לעמדת השוער הראשון של הקבוצה ושותף ב-40 משחקים. בעונה זו זכה להערכה רבה ובסיומה הועבר לצ'לסי תמורת 7.9 מיליון פאונד.
בגמר ליגת האלופות 2022 נבחר לשחקן המצטיין בניצחון קבוצתו 1–0 על ליברפול כשהוא קובע שני שיאים (מאז החלה מדידת הנתונים ב-2003/2004) – תשע הצלות במשחק הגמר וסך הכול 59 הצלות בקמפיין אחד.[2]
ב-10 באוגוסט 2023, יומיים לפני המשחק הראשון של ריאל בעונת 2024\2023, נפצע קורטואה וקרע את הרצועה הצולבת וכתוצאה מכך נעדר רוב העונה. ב-1 ביוני 2024 פתח במשחק גמר ליגת האלופות שהסתיים בניצחון 0–2 על בורוסיה דורטמונד ובזכייה בפעם ה-15 בתולדות המועדון.
נבחרות בלגיה
בשנים 2009–2010 שיחק גם בנבחרת הנוער של בלגיה עד גיל 18.
באוקטובר 2011 קורטואה זומן לראשונה לסגל נבחרת בלגיה הבוגרת. חודש לאחר מכן ערך את הופעת הבכורה שלו בבוגרים של בלגיה במשחק הידידות נגד נבחרת צרפת שהסתיים בתיקו 0–0, מה שהפך אותו לשוער הצעיר ביותר באותה עת ששיחק בנבחרת בלגיה.
במוקדמות מונדיאל 2014 שיחק בכל המשחקים, ובמהלכם לא ספג שער בשישה מתוך עשרת המשחקים.
במונדיאל 2014 שיחק בחמשת המשחקים של נבחרתו, שנעצרה ברבע הגמר.
קורטואה עזר לנבחרתו להעפיל ליורו אחרי 16 שנה. ביורו 2016 נבחרת בלגיה הגיעה שוב עד לרבע הגמר שם הפסידה לנבחרת ויילס. לאחר המשחק האשים את מאמן הנבחרת, מארק וילמוטס בהפסד.[3]
אחרי הפסד בחצי הגמר לנבחרת צרפת. בלגיה ניצחה את נבחרת אנגליה וסיימה במקום השלישי לראשונה בתולדותיה. במהלך המונדיאל רשם קורטואה 27 הצלות, יותר מכל שוער אחר וזכה בכפפת הזהב בתור השוער הטוב במונדיאל.