הנסי התחיל את הקריירה שלו במחלקת הנוער של מנצ'סטר סיטי ובגיל 16 הצטרף לאקדמיה של וולברהמפטון וונדררס. באפריל 2005 חתם על חוזה מקצועי במועדון. ביולי 2006 הושאל לבריסטול סיטי, אך חזר לאחר חודש לוולבס בעקבות פציעתו של השוער הראשון מאט מארי. לאחר חזרתו של מארי מפציעה, בינואר 2007 הושאל הנסי לסטוקפורט קאנטרי עד לחודש פברואר. לאחר ששמר על שער נקי במשך החודש, הוארכה תקופת השאלתו עד לסיום העונה. בפברואר 2007 זכה בתואר "שחקן החודש" בליגה הרביעית. ב-3 במרץ2007 השלים 857 דקות ללא ספיגת שער ושבר את שיא המועדון לאחר 119 שנה.
באפריל 2007 חזר לוולבס והוא ערך את הופעת הבכורה שלו נגד וסט ברומיץ' אלביון. בסיום עונת 2008/2009 זכה עם וולבס באליפות הפוטבול ליג צ'מפיונשיפ. במהלך עונת 2009/2010 התערער מעמדו ובאמצע העונה הפסיד את מקומו בהרכב. ביולי 2010 האריך את חוזהו בוולבס עד קיץ 2015. במהלך עונת 2010/2011 חזר להרכב של וולבס. באפריל 2012 נפצע וגמר את העונה. בנובמבר 2012 נפצע שוב וגמר שוב את העונה מוקדם מהצפוי.
בצעירותו, הנסי שיחק עבור כל הנבחרות הצעירות של ויילס, ואך כבש עבור נבחרת הנוער שער אחד מ-40 מטר נגד טורקיה. ב-26 במאי2007 ערך את הופעת הבכורה הבינלאומית שלו בנבחרת הבוגרת במשחק ידידות נגד ניו זילנד שנגמר בתיקו 2-2, ומאז הפך לשוער הראשון של הנבחרת.