PROFILPELAJAR.COM

בתורת החבורות, החבורה הליניארית הכללית ממעלה $n$ מעל השדה $F$ היא אוסף המטריצות ההפיכות בעלות $n$ שורות ועמודות שאיבריהן שייכים לשדה $F$ , ביחס לפעולת הכפל של מטריצות. זוהי חבורה שהאיבר הנייטרלי שלה הוא מטריצת היחידה. זוהי אחת מהחבורות הבסיסיות הנחקרות בתורת החבורות. תת חבורה של החבורה הליניארית הכללית נקראת חבורה ליניארית או בפשטות חבורת מטריצות. שיכון של חבורה מסוימת בתוך החבורה הליניארית הכללית נקרא הצגה ליניארית של החבורה.

את החבורה הליניארית הכללית ניתן להגדיר באופן שקול כאוסף ההעתקות הליניאריות ההפיכות מעל מרחב וקטורי $V$ מממד $n$ מעל השדה $F$ היות שכל המרחבים הווקטוריים בעלי ממד סופי שווה הם איזומורפיים, ברור שמבנה החבורה אינו תלוי במרחב הווקטורי שלפיו היא הוגדרה. למעשה, באופן הזה מגדירים את החבורה הליניארית הכללית כחבורת האוטומורפיזמים של $V$ בקטגוריה של מרחבים וקטוריים. כאשר משתמשים בהגדרה הראשונה מסמנים את החבורה בדרך כלל $\mathbf {GL} _{n}(F)$ או $\mathbf {GL} (n,F)$ , וכאשר משתמשים בהגדרה השנייה - $\mathbf {GL} (V)$ .

המאפיינים האלגבריים של אלגברת המטריצות, או לחלופין אלגברת ההעתקות הליניאריות, כגון קיום הדטרמיננטה, מאפשרים להגדיר מספר תתי חבורות באופן טבעי. לדוגמה החבורה הליניארית המיוחדת, $\mathbf {SL} _{n}(F)$ , היא תת-החבורה של החבורה הליניארית הכללית שמכילה את כל המטריצות בעלות דטרמיננטה 1. $\mathbf {SL} _{n}(F)$ היא תת חבורת הקומוטטורים של $\mathbf {GL} _{n}(F)$ , והיא בעצמה חבורה מושלמת אלא אם כן $n=2$ והשדה $F$ הוא בגודל 2 או 3.

החבורה הליניארית הכללית אינה אבלית, כל עוד $n$ איננו 1. כאשר $n=1$ , החבורה הליניארית הכללית היא פשוט החבורה הכפלית של השדה $F$ .

כאשר השדה $F$ מעליו החבורה מוגדרת הוא שדה המספרים הממשיים או המרוכבים $\mathbf {GL} (n,F)$ היא חבורת לי מממד $n^{2}$ . כאשר השדה $F$ מעליו החבורה מוגדרת הוא שדה סגור אלגברית אזי $\mathbf {GL} (n,F)$ היא חבורה אלגברית (חבורה שהיא גם יריעה אלגברית).

קישורים חיצוניים

החבורה הליניארית הכללית, באתר MathWorld (באנגלית)

ראו גם

עץ מיון של חבורות אלגבריות

חבורה ליניארית פתירה^[2]

חבורה פשוטת קשר

חבורה קלאסית^[3]

חבורה פשוטה למחצה^[2]

טורוס

\,\cap

חבורת המטריצות המשולשיות

חבורה אוניפוטנטית^[4]

חבורה כמעט פשוטה^[5]

\mathbb {G} _{m}

\mathbb {G} _{m}

חבורת המטריצות המשולשיות האוניפוטנטיות

\mathbb {G} _{a}

\mathbb {G} _{a}

חבורה פשוטה^[6]

\,\cup

חבורה פשוטת קשר כמעט פשוטה

\,\cup

מקרא

מחלקה של חבורות אלגבריות או חבורה אלגברית בודדות; שם התואר "אלגברית/אלגברי" מושמט בדרך כלל.

מחלקה חשובה בתורת החבורות האלגבריות.

\cup

מחלקה שמכוסה על ידי תתי-המחלקות שלה המופיעות בתרשים, אם שדה ההגדה סגור אלגברית.

\cap

מחלקה המהווה חיתוך של המחלקות שמכילות אותה ומופיעות בתרשים.

מסלול שיורד למטה מצביע על כך שהמחלקה התחתונה היא חלק מהמחלקה העליונה

איזוגניה

חבורה בודדת

סידרה של חבורות

מחלקה של חבורות המהווה סידרה אחת עם שדה ההגדרה סגור אלגברית.

משפחה חד-פרמטרית של חבורת

קבוצה דיסקרטית של חבורות

משפחה רחבה יותר של חבורות

GL_{n}

GL_{n}

PGL_{n}

PGL_{n}

SL_{n}

SL_{n}

U(V)

U(V)

PU(V)

PU(V)

SU(V)

SU(V)

O(V)

O(V)

PO(V)

PO(V)

Spin(V)

Spin(V)

Sp_{2n}

Sp_{2n}

PSp_{2n}

PSp_{2n}

E_{6}

הפשוטה

E_{6}

הפשוטה

E_{6}

פשוטת הקשר

E_{6}

פשוטת הקשר

E_{7}

הפשוטה

E_{7}

הפשוטה

E_{7}

פשוטת הקשר

E_{7}

פשוטת הקשר

E_{8}

E_{8}

F_{4}

F_{4}

G_{2}

G_{2}

הערות שוליים

^ כאן אנו מתייחסים למוסכמה המרחיבה, לפיה אין דרישה שהחבורה תהיה קשירה. עם זאת אנו דורשים שהחבורה תהיה קומוטטיבית, דרישה זו נובעת מהפרויקיטיביות/שלמות עבור חבורות קשירות, אך לא במקרה הכללי.
^ ¹ ² ³ כאן אנו מתייחסים למוסכמה המרחיבה, לפיה אין דרישה שהחבורה תהיה קשירה.
^ למושג "חבורה קלאסית" יש מספר משמעויות מקובלות. כל המשפחות שמופעות בדיאגרמה כאן תחת "חבורה קלאסית" נחשבות לכאלה על פי כל המשמעוית המוקובלות
^ כאן אנו מתייחסים למוסכמה המרחיבה, לפיה אין דרישה שהחבורה תהיה קשירה. עם זאת, מעל שדה ממציין 0, חבורה אוניפוטנטית היא תמיד קשירה (ופשוטת קשר), גם אם לא דרשים זאת בהגדרה.
^ לעיתים מושג זה נקרא "חבורה פשוטה".
^ כאן אנו משתמשים במוסכמה המצמצמת, שדורשת מחבורה פשוטה להיות חסרת מרכז. המושג ללא דרישה זו נקרא כאן "חבורה כמעט פשוטה".