במתמטיקה ובפרט בגאומטריה אלגברית חבורות אוניפוטנטיות מהוות משפחה חשובה של חבורות אלגבריות ליניאריות. דוגמה לחבורה אוניפוטנטית היא החבורה ${\displaystyle U_{n}}$ של מטריצות משולשיות עליונות ${\displaystyle n\times n}$ שכל איברי האלכסון שלהן שווים ל-1. חבורה נקראת אוניפוטנטית אם ורק אם היא איזומורפית לתת חבורה אלגברית סגורה של ${\displaystyle U_{n}}$.

חבורות אוניפוטנטיות סגורות לגבי תת-מנות והרחבות. אם המציין של שדה ההגדרה הוא -0, אז כל חבורה אוניפוטנטית היא קשירה ופשוטת קשר. החבורה ${\displaystyle U_{1}}$ איזומורפית לחבורה החיבורית של שדה ההגדרה ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$. אפשר לראות בדוגמה זו את הדוגמה הפשוטה ביותר לחבורה אוניפוטנטית. במובן מסוים כל החבורות האוניפוטנטיות מורכבות ממנה. לכל חבורה אוניפוטנטית יש מרכז לא טריוויאלי. אם מרכז זה אינו סופי אז הוא מכיל תת-חבורה איזומרפית ל-${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$. אם שדה ההגדרה סגור אלגברית וממציין - 0, אז מרכז זה הוא חזקה של החבורה ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$. מכאן ניתן להסיק, שבמציין - 0, עבור חבורה אלגברית ${\displaystyle G}$ הדברים הבאים שקולים:

• ${\displaystyle G}$ אוניפוטנטית.
• ל - ${\displaystyle G}$ סדרה מרכזית שגורמיה הם ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$.
• ל - ${\displaystyle G}$ סדרה נורמלית שגורמיה הם ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$.

אם מציין שדה ההגדרה הוא מספר ${\displaystyle p\neq 0}$ אז חבורת רכיבי הקשירות של חבורה אוניפוטנטית היא חבורת p. כמו כן ניתן להראות כי אם שדה ההגדרה סגור אלגברית וממציין ${\displaystyle p}$, אז עבור חבורה אלגברית ${\displaystyle G}$ הדברים הבאים שקולים:

• ${\displaystyle G}$ אוניפוטנטית.
• ל - ${\displaystyle G}$ סדרה מרכזית שגורמיה הם ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ והחבורה הציקלית בעלת ${\displaystyle p}$ איברים ${\displaystyle C_{p}}$.
• ל - ${\displaystyle G}$ סדרה נורמלית שגורמיה הם ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ ו - ${\displaystyle C_{p}}$.

לחבורת אוניפוטנטיות תפקיד חשוב בתורת המיון והמבנה של חבורות אלגבריות ליניאריות. כל חבורה אלגברית ליניארית היא הרחבה של חבורה רדוקטיבית וחבורה אוניפוטנטית. אם מציין שדה ההגדרה הוא 0 אז ההרחב הזאת היא מכפלה חצי ישרה.

עץ מיון של חבורות אלגבריות

חבורה אלגברית חבורה אלגברית                                                           חבורה ליניארית חבורה ליניארית       חבורה קשירה חבורה קשירה                       יריעה אבלית[1] יריעה אבלית[1]                                 עקום אליפטי עקום אליפטי   חבורה רדוקטיבית[2] חבורה רדוקטיבית[2]   חבורה סופית חבורה סופית   חבורה ליניארית פתירה[2] חבורה ליניארית פתירה[2]   חבורה פשוטת קשר חבורה פשוטת קשר                                                       חבורה קלאסית[3] חבורה קלאסית[3]   חבורה פשוטה למחצה[2] חבורה פשוטה למחצה[2]   טורוס טורוס ${\displaystyle \,\cap }$   חבורת המטריצות המשולשיות חבורת המטריצות המשולשיות   חבורה אוניפוטנטית[4] חבורה אוניפוטנטית[4]                                                   חבורה כמעט פשוטה[5] חבורה כמעט פשוטה[5]   ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$           חבורת המטריצות המשולשיות האוניפוטנטיות חבורת המטריצות המשולשיות האוניפוטנטיות                           ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$                   חבורה פשוטה[6] חבורה פשוטה[6] ${\displaystyle \,\cup }$   חבורה פשוטת קשר כמעט פשוטה חבורה פשוטת קשר כמעט פשוטה ${\displaystyle \,\cup }$                                                       מקרא   מחלקה של חבורות אלגבריות או חבורה אלגברית בודדות; שם התואר "אלגברית/אלגברי" מושמט בדרך כלל.   מחלקה חשובה בתורת החבורות האלגבריות. ${\displaystyle \cup }$ מחלקה שמכוסה על ידי תתי-המחלקות שלה המופיעות בתרשים, אם שדה ההגדה סגור אלגברית. ${\displaystyle \cap }$ מחלקה המהווה חיתוך של המחלקות שמכילות אותה ומופיעות בתרשים.   מסלול שיורד למטה מצביע על כך שהמחלקה התחתונה היא חלק מהמחלקה העליונה איזוגניה   חבורה בודדת   סידרה של חבורות   מחלקה של חבורות המהווה סידרה אחת עם שדה ההגדרה סגור אלגברית.   משפחה חד-פרמטרית של חבורת   קבוצה דיסקרטית של חבורות   משפחה רחבה יותר של חבורות   ${\displaystyle GL_{n}}$ ${\displaystyle GL_{n}}$     ${\displaystyle PGL_{n}}$ ${\displaystyle PGL_{n}}$   ${\displaystyle SL_{n}}$ ${\displaystyle SL_{n}}$               ${\displaystyle U(V)}$ ${\displaystyle U(V)}$     ${\displaystyle PU(V)}$ ${\displaystyle PU(V)}$   ${\displaystyle SU(V)}$ ${\displaystyle SU(V)}$             ${\displaystyle O(V)}$ ${\displaystyle O(V)}$   ${\displaystyle PO(V)}$ ${\displaystyle PO(V)}$   ${\displaystyle Spin(V)}$ ${\displaystyle Spin(V)}$                   ${\displaystyle Sp_{2n}}$ ${\displaystyle Sp_{2n}}$   ${\displaystyle PSp_{2n}}$ ${\displaystyle PSp_{2n}}$                     ${\displaystyle E_{6}}$ הפשוטה ${\displaystyle E_{6}}$ הפשוטה   ${\displaystyle E_{6}}$ פשוטת הקשר ${\displaystyle E_{6}}$ פשוטת הקשר             ${\displaystyle E_{7}}$ הפשוטה ${\displaystyle E_{7}}$ הפשוטה   ${\displaystyle E_{7}}$ פשוטת הקשר ${\displaystyle E_{7}}$ פשוטת הקשר         ${\displaystyle E_{8}}$ ${\displaystyle E_{8}}$           ${\displaystyle F_{4}}$ ${\displaystyle F_{4}}$           ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle G_{2}}$     עצי מיון בתורת החבורות חבורות סופיות • חבורות טופולוגיות • חבורות אלגבריות

• Springer, Tonny A. (1998) [1981], Linear Algebraic Groups (2nd ed.), New York: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4021-5, MR 1642713
• Borel, Armand (1991) [1969], Linear Algebraic Groups (2nd ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97370-2, MR 1102012
• Humphreys, James E. (1975), Linear Algebraic Groups, Springer, ISBN 0-387-90108-6, MR 0396773

• De Medts, Tom (2019), Linear Algebraic Groups (course notes) (PDF), Ghent University

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.