יריעה אלגברית פרויקטיבית היא יריעה אלגברית במרחב הפרויקטיבי, כלומר: קבוצת השורשים של קבוצת פולינומים הומוגניים. היריעות האלגבריות נחקרות במסגרת הגאומטריה הפרויקטיבית והגאומטריה האלגברית. למשל: קיימים מיונים של ישרים פרויקטיבים, עקומות קוניות פרויקטיביות (עקומות שמוגדרות על ידי פולינום הומוגני ממעלה 2) ועקומות קוביות פרויקטיביות (עקומות שמוגדרות על ידי פולינום הומוגני ממעלה 3) מישוריות. משפט בזו מנוסח אף הוא למקרה הפרויקטיבי. יריעות פרויקטיביות מופיעות גם במחקר של חבורות אלגבריות (למשל: אם ${\displaystyle G}$ חבורה אלגברית ו-${\displaystyle H}$ תת-חבורה אלגברית שלה המנה ${\displaystyle G/H}$ היא יריעה קוואזי-פרויקטיבית).

המרחב הפרויקטיבי ${\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}}$ מעל שדה סגור אלגברית ${\displaystyle K}$ הוא מרחב המנה של מרחב וקטורי המורכב מאוסף ה-${\displaystyle n+1}$-יות ${\displaystyle (x_{0},x_{1},...,x_{n})}$ ללא ${\displaystyle (0,...,0)}$ תחת יחס השקילות

${\displaystyle (x_{0},x_{1},...,x_{n})\sim (y_{0},y_{1},...,y_{n})\iff \exists \lambda \in K^{\times }:\forall 0\leq i\leq n:x_{i}=\lambda y_{i}}$

כלומר, כל שתי ${\displaystyle n+1}$-יות מזוהות כאחת אם הן פרופורציוניות זו לזו בסקלר שונה מאפס. מסמנים

${\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}=\left((K^{n+1}-\{0\})/\sim \right)=\left\{(x_{0}:x_{1}:...:x_{n})\mid x_{i}\in K,{\mbox{ not all are zero}}\right\}}$.

פולינום ב-${\displaystyle n+1}$ משתנים ${\displaystyle x_{0},x_{1},...,x_{n}}$ יקרא פולינום הומוגני ממעלה d אם

${\displaystyle f(\lambda x_{0},...,\lambda x_{n})=\lambda ^{d}f(x_{0},...,x_{n})}$

כאשר ${\displaystyle d}$ היא מעלת הפולינום. לדוגמה: ${\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+yz}$ הוא הומוגני ממעלה 2 בעוד ש-${\displaystyle g(x,y,z)=x^{3}+yz}$ אינו הומוגני בכלל.

נשים לב שאין משמעות לערך של פולינום בנקודה של המרחב הפרויקטיבי אך כן יש משמעות להתאפסות של פולינום הומוגני בנקודה פרויקטיבית. מגדירים, אם כן,

${\displaystyle V={\mathcal {V}}(f_{1},...,f_{m})=\left\{(x_{0}:x_{1}:...:x_{n})\in \mathbb {P} _{K}^{n}\mid f_{1}(x_{0},...,x_{n})=...=f_{m}(x_{0},...,x_{n})=0\right\}}$

כאשר ${\displaystyle f_{1},...,f_{m}}$ הם פולינומים הומוגניים. הקבוצה ${\displaystyle V}$ נקראת יריעה אלגברית פרויקטיבית.

קבוצה ${\displaystyle X}$ ב-${\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}}$ נקראת "קבוצה אלגברית" ומוגדרת להיות קבוצה סגורה אם היא מהצורה ${\displaystyle X={\mathcal {V}}(f_{1},...,f_{m})}$ עבור ${\displaystyle f_{1},...,f_{m}}$ הם פולינומים הומוגניים כלשהם. הגדרה זו משרה טופולוגיית זריצקי על המרחב הפרויקטיבי.

באופן דומה למקרה של יריעה אלגברית אפינית אפשר להגדיר טופולוגיית זריצקי ואי-פריקות של יריעות אלגבריות, וכן להגדיר ${\displaystyle K}$-אלגברה של פונקציות מעל כל יריעה. יש הכוללים בהגדרה "יריעה אלגברית פרויקטיבית" את הדרישה שהיא תהייה אי-פריקה בטופולוגיית זריצקי. באופן דומה למקרה האפיני, אפשר לנסח את משפט האפסים של הילברט.

קבוצה פתוחה בטופולוגיית זריצקי שמוכלת בקבוצה סגורה במרחב הפרויקטיבי נקראת יריעה קוואזי-פרויקטיבית. הגדרה שקולה היא קבוצה סגורה מקומית. יריעה אלגברית אפינית ויריעה אלגברית פרויקטיבית הן מקרה פרטי של יריעה קוואזי-פרויקטיבית.

• יריעה אלגברית אפינית

• יריעה אלגברית פרויקטיבית, באתר MathWorld (באנגלית)

עץ מיון של יריעות אלגבריות

יריעה אלגברית יריעה אלגברית                                               יריעה פרידה יריעה פרידה יריעה קשירה יריעה קשירה יריעה שוות ממד יריעה שוות ממד יריעת כהן-מקולי יריעת כהן-מקולי יריעה נורמלית יריעה נורמלית יריעה ${\displaystyle \mathbb {Q} }$- גורנשטיין[1] יריעה ${\displaystyle \mathbb {Q} }$- גורנשטיין[1]                                                   יריעה קוואזי-גורנשטיין[2] יריעה קוואזי-גורנשטיין[2] סינגולריות לוג קנונית סינגולריות לוג קנונית   יריעת טיפוס כללי[3] יריעת טיפוס כללי[3]                                               יריעה שלמה יריעה שלמה יריעה קוואזי-פרויקטיבית יריעה קוואזי-פרויקטיבית יריעה בלתי פריקה יריעה בלתי פריקה עקום עקום   יריעה טורואידלית יריעה טורואידלית סינגולריות רציונלית סינגולריות רציונלית יריעת גורנשטיין יריעת גורנשטיין ${\displaystyle \,\cap }$ סינגולריות לוג טרמינלית סינגולריות לוג טרמינלית   יריעת קאלבי-יאו[3] יריעת קאלבי-יאו[3]                                               סינגולריות גורנשטיין רציונלית ${\displaystyle \Updownarrow }$ סינגולריות גורנשטיין קנונית ${\displaystyle \Updownarrow }$ סינגולריות גורנשטיין לוג טרמינלית סינגולריות גורנשטיין רציונלית ${\displaystyle \Updownarrow }$ סינגולריות גורנשטיין קנונית ${\displaystyle \Updownarrow }$ סינגולריות גורנשטיין לוג טרמינלית ${\displaystyle \,\cap }$             יריעה פרויקטיבית יריעה פרויקטיבית ${\displaystyle \,\cap }$ יריעה קוואזי-אפינית יריעה קוואזי-אפינית יריעה רציונלית יריעה רציונלית   משטח משטח   סינגולריות חיתוך מלא סינגולריות חיתוך מלא סינגולריות קנונית סינגולריות קנונית   יריעת פאנו[3] יריעת פאנו[3]                                                                         יריעה אפינית יריעה אפינית יריעה טורית יריעה טורית   סינגולריות דו-ואל סינגולריות דו-ואל ${\displaystyle \,\cap }$           סינגולריות טרמינלית סינגולריות טרמינלית                   יריעה חלקה יריעה חלקה                                                                                                     מקרא   מחלקה של יריעות אלגבריות[4]   תכונה מקומית של ירעות אלגבריות (או מחלקה שמוגדרת על ידי תכונה מקומית).[4]   מסלול שיורד למטה מצביע על כך שהמחלקה התחתונה היא חלק מהמחלקה העליונה. ${\displaystyle \cap }$ מחלקה המהווה חיתוך של המחלקות שמכילות אותה ומופיעות בתרשים.   דוגמה או קבוצת דוגמאות ליריעות אלגבריות.[4]   חלק במסלול שרלוונטי רק לדוגמאות.                             עקום אליפטי עקום אליפטי ${\displaystyle \,\cap }$         מרחב אפיני מרחב אפיני                           מרחב פרויקטיבי מרחב פרויקטיבי                                                                 עצי מיון בגאומטריה אלגברית עץ מיון של יריעות אלגבריות • עץ מיון של סכמות[5] • עץ מיון של העתקות מיוצגות סופית בין סכמות[6] • עץ מיון של העתקות כלליות בין סכמות[7] ^ בהקשרים מסוימים דורשים מיריעה ${\displaystyle \mathbb {Q} }$- גורנשטיין להיות נורמלית ו/או כהן-מקולי. כאן אנו לא דורשים אף אחת מתכונות אלה. ^ בהקשרים מסוימים דורשים מיריעה קוואזי- גורנשטיין להיות נורמלית, כאן אנו לא דורשים זאת. ^ 1 2 3 כאן אנו מתייחסים להגדרה המכילה שלא דורשת חלקות או שלמות אלא רק תכונות ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-גורנשטיין. ^ 1 2 3 שמות התואר "אלגברית"/אלגברי מושמטים בדרך כלל משם המחלקה. ^ העץ מכיל בעיקר מחלקות של סכמות ללא גרסה יחסית מובהקת. ^ ככלל בגאומטריה אלגברית עיקר העיסוק בהעתקות בין סכמות מתרכז בסכמות מיוצגות סופית. ^ העץ מכיל את המחלקות הרחבות של העתקות בין סכמות, שכוללת את כל ההעתקות המיוצגות סופית.