אנדראשי היה בן למשפחת אצולה הונגרית. אביו היה ליברל אשר השתייך לאופוזיציה לשלטון בית הבסבורג, בעת שהשתייכות זו סיכנה את המחזיק בה, ואנדראשי הוכנס מגיל צעיר לעולם הפוליטי, ולמאבק הלאומי ההונגרי.
הרוזן אישטוון סצ'ני, ממנהיגי הליברליזם ההונגרי בשנות השלושים והארבעים של המאה ה-19, היה הראשון שהכיר ביכולתו של אנדראשי, כאשר זה שירת, בשנת 1845, כנשיא האגודה להסדרת מי נהר הטיסה. בשנת 1846 החל אנדראשי לפרסם מאמרים בעיתון ליברלי בעריכת הרדיקל לאיוש קושוט, ובשנת 1848 היה בין המועמדים הרדיקלים שהעמידו עצמם לבחירה לדיאט ההונגרי. בשנה זו פרץ המרד ההונגרי נגד בית הבסבורג, מרד שהאוסטרים ניסו לדכא באמצעות צבאו של המצביא הקרואטייוסיף ילצ'יץ'. אנדראשי הצטרף ללוחמים, ושירת באומץ במספר קרבות. לקראת סיום המלחמה נשלח אנדראשי לטורקיה על מנת לשכנע את הטורקים להישאר נייטרליים במלחמה זו. לאחר התמוטטות הצבא ההונגרי וכניעת ממשלת קושוט בשנת 1949, נמלט אנדראשי בתחילה ללונדון ולאחר מכן לפריז. נגד אנדראשי הוצא גזר דין מוות בהיעדרו, וצלמו אף "נתלה" בפומבי על ידי השלטונות האוסטרים ב-21 בספטמבר1851.
אנדראשי שהה בגלות במשך כעשר שנים, כשהוא מביט מהצד בקיסרות הצרפתית השנייה שהייתה מרכז העניינים הדיפלומטי באירופה באותה תקופה, ומסיק את מסקנותיו. הוא שב מגלותו בשנת 1858, על אף שעונש המוות היה תלוי ועומד כנגדו.
אנדראשי הצטרף למפלגתו של פרנץ דיאק, אשר דרשה את החזרת כל הזכויות שהשיגו ההונגרים במהפכת 1848 ואשר בוטלו על ידי האוסטרים באופן חד-צדדי לאחר ניצחונם בקרב. בשנת 1865 נבחר לסגן נשיא הדיאט, ובמרץ 1866 היה ליו"ר תת-הוועדה הפרלמנטרית שעסקה בניסוח הפשרה בין בית הבסבורג לבין העם ההונגרי, אשר זכתה לכינוי "Ausgleich".
לאחר התבוסה האוסטרית בקרב קניגגרץ, כאשר הגיעו האוסטרים למסקנה כי על מנת לשמור על קיסרותם עליהם להגיע להסדר נדיב עם ההונגרים, התקבל אנדראשי לריאיון אצל הקיסר פרנץ יוזף. אנדראשי יעץ לקיסר להחזיר את חוקת 1848, ולמנות ממשלה הונגרית נפרדת.
ב-17 בפברואר1867 מינה הקיסר את אנדראשי לראש הממשלה הראשון של הונגריה על פי ה"פשרה". הבחירה הטבעית לתפקיד הייתה בפרנץ דיאק, מנהיג מפלגתו של אנדראשי, ותחילת כהונתו של אנדראשי עמדה בצלו של דיאק, אשר המשיך להיות האישיות המכריעה בפוליטיקה ההונגרית.
עיקר מלאכתו של אנדראשי בכהונתו הראשונה הייתה ארגונו מחדש של הצבא ההונגרי, המכונה "הונבד", והסדרת פריסתו בגבולות המדינה.
עם פרוץ מלחמת צרפת–פרוסיה בשנת 1870 הגן אנדראשי על הנייטרליות של האימפריה האוסטרו-הונגרית, ומחה נגד ההנחה שהאינטרס של האימפריה מחייב את שובה של אוסטריה לתפקיד שמילאה במדיניות הגרמנית לפני 1863.
פסל הרוזן אנדראשי ליד בניין הפרלמנט ההונגרי
לאחר פיטוריו של הברון פרידריך פרדיננד פון ביוסט, שר החוץ של האימפריה האוסטרו-הונגרית, ב-6 בנובמבר1871 נתבקש אנדראשי למלא את מקומו. לאחר תבוסותיה של אוסטריה באיטליה ובגרמניה בעשור הקודם, נותר לאימפריה האוסטרו-הונגרית שדה טבעי אחד לפעולה - הבלקן. תהליך גיבושם של עמי הבלקן למדינות עצמאיות היה בעיצומו, והיה עתיד להשפיע על עתידה של האימפריה רבת המיעוטים באופן ישיר. עמים אלו השתחררו מעריצות הסולטאן הטורקי. מטרת הדיפלומטיה האוסטרו-הונגרית בשנים אלו הייתה לקבל השפעה בחלקי ארץ אלו, ואולי אף לספחם אליה.
על מנת להחזיר לאימפריה את המשקל הבינלאומי הדרוש לה פנה אנדראשי אל גרמניה, איטליה ורוסיה, על מנת לקרב אותן אל העמדה האוסטרו-הונגרית, בשורה של ועידות, בהן הצליח אנדראשי להציג את העמדה האוסטרו-הונגרית.
הצלחתו נבחנה עם פרוץ המרד נגד השלטון הטורקי בבוסניה בשנת 1875. אנדראשי הצליח להציג עמדה שהייתה עמדתן של אוסטריה-הונגריה, גרמניה ורוסיה, במכתב ששלח אל הרוזן ביוסט, שהיה שגרירה של האימפריה בלונדון. במכתב זה, המכונה "מכתב אנדראשי", עמד אנדראשי על העובדה כי המורדים בבוסניה עודם עומדים במריים, כי הבטחות הסולטאן לרפורמות אינן מקוימות, וכי יש סכנה להתפשטות המרידה אל מחוץ לגבולות בוסניה. בנסיבות אלו, טען אנדראשי, יש צורך בפעולה מתואמת של המעצמות על מנת לגרום לסולטאן לפעול לקיום הבטחותיו.
לדעת אנדראשי היה על הסולטאן להכיר בדת הנוצרית כדת המדינה, לבטל את השיטה האגררית לפיה היו האיכרים הבוסנים הנוצרים כפופים לבעלי האחוזות המוסלמים, ולהקים מועצות מקומיות שיבטיחו את זכויות הבוסנים.
משהוצגה עמדה זו כעמדתם של רוסיה, גרמניה והאימפריה האוסטרו-הונגרית, הסכימו לה אף צרפת ואנגליה, והמכתב אומץ כבסיס לכל משא ומתן עתידי עם הסולטאן.
אנדראשי הגיע לברית חשאית עם רוסיה לפיה בכל מקרה יילקחו בחשבון האינטרסים של האימפריה האוסטרו-הונגרית, אם תילחם רוסיה נגד טורקיה. בוועידת ברלין שהתקיימה ב-1878, לאחר המלחמה בין טורקיה ורוסיה, ליישוב המשברים בבלקן היה אנדראשי נציגה של האימפריה האוסטרו-הונגרית, ועשה ככל יכולתו כדי להמעיט מהישגיה הטריטוריאליים של רוסיה, לטובת האימפריה. בסיום הקונגרס השיג אנדראשי מנדט להחזיק בבוסניה והרצגובינה.
מנדט זה היה בלתי פופולרי בהונגריה, הן בשל העול הכספי שהטיל על הממלכה, והן בשל הרגשות הפרו-טורקיים שעדיין גאו בהונגריה. כתוצאה מהביקורת הציבורית בארצו התפטר אנדראשי מתפקידו ב-8 באוקטובר1879. יום לפני התפטרותו חתם על ברית הגנה משותפת עם גרמניה.
לאחר פרישתו המשיך אנדראשי להתבטא בענייני הציבור, ובמיוחד תמך בהידוק הקשרים עם אוסטריה, במסגרת הממלכה הדואלית. בשנות חייו האחרונות החזיר לעצמו את אהדת העם, ומותו ב-18 בפברואר1890 נחשב בהונגריה ליום אבל לאומי.
אנדראשי היה לאיש הציבור ההונגרי הראשון שזכה להשפעה של ממש בענייניה של אירופה, ומבוניה של המדינה ההונגרית המודרנית. מאשתו נולדו לו שני בנים ובת. לשני בניו הייתה קריירה פוליטית משגשגת.
פסלו של אנדראשי הרכוב על סוסו מוצב בסמוך לבניין הפרלמנט ההונגרי.
