אלֵכּסַנדרֵה צ'יווַדזֵה נולד בשנת 1955 בקלוחורי, כאשר גאורגיה הייתה חלק מברית המועצות; אביו היה מטביליסי, ועבד במאפיית לחם בעיר הצפון-קווקזית הקטנה, שהייתה כלולה זמנית בשטח גאורגיה הסובייטית; האב נשא אישה מקומית ובשנת 1956 עבר איתה ועם הילד לטביליסי; אלֵכּסַנדרֵה צ'יווַדזֵה גדל ברובע נַדזַלַדֵווי של בירת גאורגיה.
קריירה כשחקן
בשנת 1973 צ'יוודזה הופיע בקבוצת המילואים של מועדון דינמו טביליסי, ואילו משנת 1974 נכלל בהרכב הראשון; בתחילת הקריירה הוא שיחק בעמדת קשר.
בשנת 1976 צ'יוודזה זכה עם דינמו טביליסי בשתי מדליות ארד על מקום שלישי בשתי עונות של ליגת העל הסובייטית, שנערכו באותה שנה, וכן בגביע ברית המועצות הראשון של הקבוצה; בשנת 1977 הוא זכה איתה במדליית כסף על סגנות אליפות ברית המועצות.
במהלך עונת 1978מאמן דינמו טביליסי ניסה את צ'יוודזה בעמדת מגן, ומאז הוא הוצב בקביעות בעמדה זו; באותה עונה צ'יוודזה זכה עם קבוצתו באליפות ברית המועצות השנייה של הקבוצה; בשנת 1979 הוא זכה איתה בגביע הסובייטי השני שלו.
בשנת 1980 צ'יוודזה הגיע עם דינמו טביליסי לגמר הגביע הסובייטי בפעם השנייה ברציפות, אלא שהפעם היא הפסידה בו, לקבוצת שחטאר דונצק; למרות ההפסד, הקבוצה הגאורגית היא שנשלחה למפעל גביע מחזיקות הגביע האירופי, כי "שחטאר" קיבלה את הזכות להתמודד בגביע אופ"א כסגנית האלופה של אותה עונה.
בשנת 1980 צ'יוודזה זכה בפרס כדורגלן השנה בברית המועצות מטעם השבועון הסובייטי "פוטבול"; הוא זכה גם בתואר אמן ספורט ברמה בינלאומית של ברית המועצות.
בשנים 1980–1981 צ'יוודזה השתתף גם בשישה משמונת משחקיהּ של נבחרת ברית המועצות במוקדמות מונדיאל 1982 (מול איסלנד, ווילס, טורקיה וצ'כוסלובקיה); במשחקים אלה הוא היה הקפטן של הנבחרת הסובייטית; באחד מהם צ'יוודזה הבקיע שער.
בנוסף לגביע אירופה למחזיקות הגביע, בשנת 1981 צ'יוודזה זכה עם דינמו טביליסי גם במדליית הארד השלישית שלו על מקום שלישי בליגת העל הסובייטית; בנוסף, הוא זכה בתואר אמן ספורט נכבד של ברית המועצות.
במונדיאל 1982 בספרד, צ'יוודזה השתתף בכל חמשת משחקיה של נבחרת ברית המועצות (מול ברזיל, ניו זילנד וסקוטלנד בשלב הבתים הראשון; מול בלגיה ופולין בשלב הבתים השני); במשחקים אלה הוא היה קפטן הנבחרת הסובייטית; במשחק התיקו (2:2) מול סקוטלנד, צ'יוודזה הבקיע את שערו היחיד במונדיאל; שער זה, בדקה ה-59 של המשחק, איזן זמנית את התוצאה ל-1:1.
בשנים 1979–1984 צ'יוודזה נכלל שש פעמים ברציפות ברשימת 11 המצטיינים של עונת האליפות הסובייטית – כשחקן המצטיין בעמדה שלו.
בשנים 1984–1985 צ'יוודזה הופיע בארבעה משמונת המשחקים של הנבחרת הסובייטית המועצות במוקדמות מונדיאל 1986; בשנת 1985 הוא הוכר כשחקן השני בטיבו של אותה עונת אליפות סובייטית – כסגן ראשון של אחד מ-11 המצטיינים; בשנת 1986 צ'יוודזה צורף לנבחרת הסובייטית לקראת נסיעתה למונדיאל במקסיקו, אך פציעה קודמת בירך מנעה ממנו להשתתף במשחקי הטורניר.
בסתיו 1986 צ'יוודזה הופיע במשחק היחיד שלו במדי נבחרת ברית המועצות במוקדמות אליפות אירופה 1988; בשנת 1986 קבוצתו של צ'יוודזה, דינמו טביליסי, זכתה במקום החמישי בליגת העל הסובייטית (מיקום זה הקנה לה את הזכות להשתתף במשחקי גביע אופ"א של עונת 1987–1988); בשנת 1986 צ'יוודזה נכלל בפעם השביעית והאחרונה ברשימת 11 המצטיינים של עונת האליפות הסובייטית – כשחקן המצטיין בעמדה שלו.
בסתיו 1987 צ'יוודזה הופיע במשחקו הרשמי האחרון במדי נבחרת ברית המועצות (במשחק ידידות מול שוודיה); בסך הכול, הוא הופיע במדיה ב-46 שערים והבקיע שלושה שערים לזכותה.
בסתיו 1987 צ'יוודזה השתתף במשחקיהּ של דינמו טביליסי בגביע אופ"א והגיע איתה עד שמינית הגמר (השלב השלישי); אחרי משחקי שמינית הגמר מול ורדר ברמן, הוא הודיע על סיום קריירת המשחק שלו; הסיבות לכך היו ארבע פציעות במהלך השנתיים הקודמות, וכן נטל האחראיות שרבץ על כתפיו לאורך השנים כמנהיג הקבוצה (קפטן).
בסך הכול, צ'יוודזה הופיע במדי דינמו טביליסי ב-324 משחקים והבקיע 44 שערים לזכותה (למרות עמדתו האחורית במגרש, הוא נהג להצטרף להתקפות של קבוצתו, היה בועט הפנדלים המועדף על חבריו, ובאופן כללי הצטיין בבעיטות חזקות ומדויקות לשער ממצבים נייחים).
ב-28 ביוני 1989 צ'יוודזה השתתף במשחק לא-רשמי של נבחרת ברית המועצות; היה זה משחק ראווה מול נבחרת כוכבי העולם, שהסתיים בתוצאה 3:3.
אחרי התפטרותו מתפקיד המאמן, צ'יוודזה חזר לכהן כסגן נשיא התאחדות הכדורגל הגאורגית בשנים 2003–2005; בשנת 2005 הוא מילא זמנית את תפקיד נשיא ההתאחדות (אחרי מותו של נשיאהּ השני).
משנת 2012 אלֵכּסַנדרֵה צ'יווַדזֵה מאמן את הנבחרת הצעירה של גאורגיה (עד גיל 21).
