רוברט בקופן נולד במשפחה יהודית כבנם של הסוכן נאנדור בריני (בקופן) ושל פרנצישקה לינדנר.[2] סבו וסבתו מצד אביו היו שאנדור בקופן, עצמאי ודורוטיה שולוף, סבו וסבתו מצד אמו היו מור לינדנר, סוחר, ויוליה גרינפלד. רוברט בריני הוא נציג בולט של תנועת האוונגרד ההונגרית. את לימודיו החל בשנת 1904 בבית הספר לעיצוב של טיבדאר זמלני. בשנת 1905 עבר לפריז שם הפך לתלמיד באקדמיה ז'וליאן. במהלך שהותו שם הוא הושפע מהאמנות של אנרי מאטיס ושל פול סזאן. הוא למד וטיפח מגמות בסגנון אמנות בן זמנו והיה שייך ל"מאדיאר ואדאק" (Magyar Vadak), כלומר "הפראים ההונגרים" שהוא מושג מאוחר בתולדות האומנות ההונגרית.
לאחר שחזר להונגריה פרסם בכתב העת הספרותי והאמנותי החשוב ניוגט. ציורו כבר התאפיין באותה תקופה על ידי אקספרסיוניזם וקוביזם. בשנת 1909 הפך לחבר בקבוצת האוונגרד שלימים נודעה בשם השמונה ולאחר מכן באגודה החדשה לאמנים ב-18 במאי1912, ברובע 5 בבודפשט, נשא לאישה את אילונה שפיצר, בתם של דיולה יאקאב שפיצר ושל קלרה אַבֶּלֶס.[3]
בשנות ה-30 של המאה ה-20 התקרב סגנונו למסורות מושבת האמנים של באיה מארה, הוא הושפע רבות מאמנותם של קארוי פרנצי ואאורל ברנאט והצטרף ליצירתו של חוג גרשם. משנת 1934 בילה את רוב זמנו בזבגני (יישוב במחוז פשט). בנוסף לציור ולעיצוב פוסטרים, גם עבודתו הגרפית משמעותית. הגרפיקה שלו הייתה בעיקר גיר אדום, משרה של עץ אגוז, דיו מדולל, כך שהם הפכו לייחודיים, הוא לא אהב את הגרפיקה המשוכפלת. בשנת 1948 מונה למרצה באוניברסיטה לאמנויות יפות בבודפשט. עבודותיו הן בעיקר טבע דומם, עירום ודיוקנאות.
חלק משמעותי מיצירתו עדיין נמצא בחשיפה כיוון שבמהלך מלחמת העולם השנייה יצירות רבות שלו נעלמו. אחת מיצירותיו המצטיינות (אישה ישנה עם אגרטל שחור) התגלתה, למשל, על ידי גרגיי ברקי, חוקר השמונה, כתפאורה לסרט סטיוארט ליטל - העבודה הועברה בחזרה להונגריה בסוף 2014.[5]
הוא התחתן פעמיים. אשתו הראשונה הייתה אילונה שפיצר, ממנה התגרש בשנת 1924.[6] אשתו השנייה הייתה אטלקה ברויאר (1898–1977),[7] בתם של מיקשה ברויאר ושל רודולפינה יוסטוס, איתה התגורר משנת 1926 ועד מותו.[8]
