PROFILPELAJAR.COM

במתמטיקה, פונקציית ליוביל (על שם המתמטיקאי הצרפתי ז'וזף ליוביל) היא פונקציה אריתמטית חשובה בתורת המספרים, אשר לכל $n$ טבעי היא מוגדרת על ידי:

\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}

כאשר $\Omega (n)$ הוא מספר המספרים הראשוניים המחלקים את $n$ .

ניתן לראות כי $\Omega (ab)=\Omega (a)+\Omega (b)$ , אזי $\lambda (ab)=\lambda (a)\lambda (b)$ . למספר 1 אין גורמים ראשוניים, לכן $\Omega (1)=0$ ומכאן $\lambda (1)=1$ . בנוסף:

\sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&:n=k^{2}\\0&:n\neq k^{2}\end{cases}}

ניתן לראות כי פונקציית ליוביל והערך המוחלט של פונקציית מביוס הם הופכי דיריכלה.

פונקציית ליוביל מופיע גם בטורים של פונקציות אחרות, לדוגמה

${\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n\,=\,1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}$
$\sum _{n\,=\,1}^{\infty }\lambda (n){\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n\,=\,1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right)$

כאשר $\vartheta _{3}(q)$ היא פונקציית תטא של יעקובי (אנ').

לאורך השניים הוצגו שתי השערות בנוגע לפונקציית ליוביל, אך שתיהן הוכחו כשגויות. הטענה הראשונה הייתה שאם נגדיר את הפונקציה $L(n)=\sum _{k\,=\,1}^{n}\lambda (k)$ , אז $L(n)\leq 0$ לכל $n>1$ . השערה זו ידועה בתור השערת פוליה והוצא על ידי ג'ורג' פוליה בשנת 1919, אך הוכחה כשגויה בשנת 1980, למשל עבור $n=906150257$ . הטענה השנייה הייתה שאם נגדיר את הפונקציה $T(n)=\sum _{k\,=\,1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}$ אז $T(n)\geq 0$ . השערה זו הוכחה כשגויה בשנת 1958, ולמעשה לפונקציה יש נקודות שליליות רבות. אם השערה זו הייתה נכונה, היה הדבר מוביל להוכחת השערת רימן, כפי שהראה פאל טוראן.