לייב קוויטקו נולד בעיירה אוֹלסְקוב שבפלך חֶרְסוֹן של האימפריה הרוסית (בתחום המושב היהודי; כיום באוקראינה) למשפחה של מורה עני. משום כך מורהו הראשון היה אביו, והוא לא התחנך במוסדות חינוך רשמיים. התייתם בגיל מאוד צעיר, וגדל אצל סבתו ובבית דודו, שהיה רב. בגיל עשר כבר יצא לעבוד לפרנסתו, ובשנות העשרה לחייו היה פועל ונווד בעיירות אוקראינה. היה צבע ועגלון, סבל ותופר, ולא התפנה ללימודים.
בעת מלחמת העולם הראשונה נתקע קוויטקו בעיר אומן, ודווקא שם נזדמנה לו אפשרות להשלים את לימודיו. לאחר נישואיו בשנת 1917, עבר לקייב, והחל לפרסם את שירתו ביידיש. הוא התפרסם תוך זמן קצר כמשורר משובח, וחבר לצעירי המשוררים פרץ מרקיש ודוד הופשטיין, שהוציאו מאסף לשירה בשם "דאס פרייע וואָרט" (המילה החופשית).
קוויטקו היה תומך נלהב של מהפכת אוקטובר והשתלב במהירות במִמסד הקומוניסטי-יידישיסטי. הוא היה מחנך במעון ילדים עזובים שהתרבו מאוד בעת המהפכה ומלחמת האזרחים. בשנת 1921 יצא לגרמניה, כפקיד בנציגות מסחר סובייטית, ושהה שם עד שנת 1925. באותה העת פרסם עם שני משוררי היידיש דער נסתרמשה ליפשיץ מאסף אוונגרדי בשם "גייענדיק" (ברלין 1923). בשובו לאוקראינה ניהל את התיאטרון היהודי האמנותי בחארקוב, וערך עיתוני יידיש לילדים ולמבוגרים. בין השאר ערך את הירחון "די רויטע וועלט" ('העולם האדום') ואת השבועון לילדים "זיי גרייט" ('היה נכון').
קוויטקו לא התיישר לגמרי עם הקו הקומוניסטי הנוקשה, והרשה לעצמו לבקר את המשטר. הוא פוטר מהעיתונות ונשלח לעבוד במפעל לטרקטורים. כתיבתו למבוגרים נחסמה, אך הוא המשיך לפרסם את יצירתו לילדים. בוועידת סופרי הילדים הסובייטים שנערכה בחארקוב בשנת 1933 זכה קוויטקו להכרה נרחבת ולכיבודים רבים. התנגדות השלטונות לפרסום יצירתו נתמעטה, יצירותיו תורגמו מיידיש לרוסית וללשונות נוספות של ברית המועצות. שיריו הולחנו, בין השאר על ידי המלחין פרוקופייב, ונפוצו ברוסית בעיקר, במיליוני עותקים.
בשנת 1939 זכה קוויטקו בעיטור "הדגל האדום" הסובייטי על יצירתו לילדים. הוא ערך כמה מסעות, הצטרף גם למסעות מחקר וזכה אפילו להשתתף במשלחת מחקר גאוגרפית אל התחום הארקטי הרוסי. בשל פרסומו וחשיבותו במימסד היהודי-סובייטי היה בין ראשי הוועד היהודי האנטי-פשיסטי בשנות מלחמת העולם השנייה.
עם תום המלחמה עוד גדל פרסומו, והוא נבחר למזכיר אגודת הסופרים היהודים, משרה שהיה בה כוח רב, השפעה, ואפשרויות נרחבות לפרסום וסיוע. הוא עוד הספיק לקבץ ולערוך כמה קובצי עדויות של יהודים מימי המלחמה, הכיבוש הגרמני וההשמדה. כל אלה לא עזרו לו, ובשנת 1949 הוא נאסר ונעצר עם סופרים יהודים רבים. הוא הועבר ממחנה מעצר למחנה מעצר, עונה, טולטל והורעב. ב-12 באוגוסט1952 הוא הוצא להורג עם יתר הרוגי המלכות בברית המועצות.
שמו של לייב קויטקו טוהר באמצע שנות החמישים, ויצירותיו לילדים ולמבוגרים נדפסו שוב ביידיש, ברוסית, ובלשונות נוספות. והוא נחשב היום כאחד מיוצרי ספרות הילדים הגדולים הן ביידיש הן ברוסית. הוא פרסם למעלה משבעים כרכים של שירה, שירה לילדים, סיפורת וממוארים. לעברית תורגמו כמה משיריו, בין השאר על ידי נתן יונתן, אוריאל אופק וגרשון חנוביץ, וספרון שירים אחד בלבד.