בגיל 22 החליט אשמוז להתחיל להתאמן ב-MMA. בשנת 2017 השתתף בשלושה קרבות MMA חובבניים וניצח בכולם. ב-2021 עבר לניו ג'רזי שבארצות הברית כדי להתמקצע בתחום. לאחר שאשמוז הצליח להביס את הלוחם האמריקני דניס יוז ג'וניור ב-"PFL Challenger Series 5" הוא הוחתם על חוזה בארגון ה-UFC, ובכך הפך לישראלי הרביעי בהיסטוריה שילחם בארגון זה.[3]
ב-18 בינואר 2023, ערך אשמוז את הופעת הבכורה שלו עבור הארגון ב-UFC בלונדון. בקרב הראשון אשמוז שלו ב-UFC הוא נלחם בלוחם הבריטי סאם פטרסון והוא הצליח להביס אותו דקה ו-15 שניות לאחר תחילת הקרב. זו הייתה הפעם הראשונה שלוחם ישראלי מנצח בנוקאאוט ב-UFC.[3]
ב-22 ביולי 2023 נלחם באירוע UFC (אנ') מול הלוחם הסקוטי כריס דאנקן והפסיד בהחלטת שופטים אחידה.[4]
נכון לספטמבר 2024, אשמוז מחזיק במאזן תוצאות של שמונה ניצחונות והפסד אחד.