במתמטיקה, המשפט היסודי של תורת גלואה הוא המשפט הבסיסי ביותר בדבר הרחבת שדות מממד סופי. למשפט שני חלקים – הראשון קובע מתי הרחבה היא הרחבת גלואה, והשני קושר בין שני אובייקטים אלגבריים שונים: חבורות ושדות. במשפט זה בא לידי ביטוי הרעיון הבסיסי של תורת גלואה.

בהינתן שדה ${\displaystyle F}$ ושדה ${\displaystyle E}$ שמכיל אותו, אומרים כי ${\displaystyle E/F}$ היא הרחבת שדות, וניתן להתאים לה חבורה שאבריה הם האוטומורפיזמים של השדה ${\displaystyle E}$ שמשמרים את ${\displaystyle F}$. חבורה זו מכונה חבורת גלואה של ההרחבה.

החלק הראשון של המשפט קובע מתי ההרחבה היא הרחבת גלואה, והחלק השני מאפשר להפיק מידע על המבנה של ההרחבה מתוך מבנה חבורת גלואה של ההרחבה.

תהא ${\displaystyle E/F}$ הרחבת שדות מממד סופי. נסמן בתור ${\displaystyle G(E/F)=\operatorname {Gal} (E/F)}$ את חבורת גלואה של ${\displaystyle E/F}$.

התנאים הבאים שקולים:

• ההרחבה היא הרחבת גלואה (הרחבה ספרבילית ונורמלית).
• שדה השבת של ${\displaystyle E}$ תחת חבורה כלשהי הוא ${\displaystyle F}$.
• ${\displaystyle E}$ שדה פיצול של פולינום ספרבילי עם מקדמים מ-${\displaystyle F}$.

התנאי השני למעשה חזק יותר, זאת לפי משפט של אמיל ארטין: אם ${\displaystyle E^{G}=F}$ אז בהכרח ${\displaystyle G=G(E/F)}$.

התנאי השני קובע כי לכל איבר שאיננו בשדה הבסיס, קיים אוטומורפיזם שלא משאיר אותו במקום – זוהי אחת הדרכים (האחרות) לחשוב על הרחבת גלואה, ובהקשרים מסוימים היא אף מוגדרת כך.

קיימת התאמה חד-חד ערכית ועל בין שדות הביניים של ההרחבה ${\displaystyle E/F}$ ותתי-החבורות של החבורה ${\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)}$, הנקראת התאמת גלואה ומוגדרת כך:

• (בכיוון הראשון) לכל שדה ביניים ${\displaystyle F\subseteq K\subseteq E}$ מותאמת תת-החבורה ${\displaystyle G(E/K)}$ – אוסף האוטומורפיזמים של ${\displaystyle E}$ שמשמרים את ${\displaystyle K}$.
• (בכיוון השני) לכל תת-חבורה ${\displaystyle H\subseteq G(E/F)}$ מותאם שדה השבת של כל אברי ${\displaystyle H}$ אותו נסמן ${\displaystyle E^{H}=\{x\in E\mid \forall \sigma \in H:\sigma (x)=x\}}$ (ומתקיים ${\displaystyle F\subseteq E^{H}\subseteq E}$).

שתי ההתאמות לעיל הפכיות אחת לשנייה.

התאמת גלואה מקיימת את התכונות הבאות:

• ההתאמה היא הופכת סדר, כלומר אם ${\displaystyle F\subseteq K_{1}\subseteq K_{2}\subseteq E}$ אז ${\displaystyle G(E/K_{2})\subseteq G(E/K_{1})}$.
• ההתאמה הופכת חיתוך ויצירה: אם ${\displaystyle K_{i}}$ הוא שדה הביניים המתאים לתת-החבורה ${\displaystyle H_{i}}$ אזי ${\displaystyle G(E/K_{1}\cap K_{2})=\langle H_{1},H_{2}\rangle }$ (כאן ${\displaystyle \langle H_{1},H_{2}\rangle }$ היא תת-החבורה הנוצרת על ידי ${\displaystyle H_{1}}$ ו-${\displaystyle H_{2}}$) וכן ${\displaystyle G(E/K_{1}K_{2})=H_{1}\cap H_{2}}$.
• דרגת ההרחבה זהה לסדר החבורה: ${\displaystyle \left[E:K\right]=|G(E/K)|}$ לכל ${\displaystyle F\subseteq K\subseteq E}$.
• עבור שדה ביניים ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle K/F}$ היא הרחבה נורמלית (ולכן גלואה) אם ורק אם ${\displaystyle G(E/K)}$ היא תת-חבורה נורמלית של ${\displaystyle G(E/F)}$ . במקרה זה מתקיים ${\displaystyle G(E/F)/G(E/K)\cong G(K/F)}$, כלומר חבורת גלואה של ${\displaystyle K/F}$ איזומורפית לחבורת המנה של ${\displaystyle G(E/F)}$ על ידי ${\displaystyle G(E/K)}$.

נתבונן בפולינום ${\displaystyle f(x)=x^{3}-2}$ מעל ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. אם נסמן ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}=\theta }$ ו-${\displaystyle \omega =e^{i{\frac {2\pi }{3}}}}$ (שורש יחידה מסדר 3) אז שורשי הפולינום הם ${\displaystyle \theta ,\theta \omega ,\theta \omega ^{2}}$. לכן ניתן לראות כי שדה הפיצול של הפולינום הוא ${\displaystyle \mathbb {Q} (\theta ,\omega )}$.

נסמן ${\displaystyle F=\mathbb {Q} }$ ו-${\displaystyle E=\mathbb {Q} (\theta ,\omega )}$.

ידוע כי כל אוטומורפיזם של ${\displaystyle E}$ שמשמר את ${\displaystyle F}$ מבצע תמורה של שורשי ${\displaystyle f(x)}$, ומכיוון שישנם שלושה שורשים, חבורת גלואה ${\displaystyle G(E/F)}$ היא תת-חבורה של החבורה הסימטרית ${\displaystyle S_{3}}$.

ניתן להוכיח כי ${\displaystyle [E:F]=6}$ ולכן על פי המשפט היסודי ${\displaystyle |G(E/F)|=6}$, ולכן בהכרח ${\displaystyle G(E/F)=S_{3}}$.

לחבורה הסימטרית ${\displaystyle S_{3}}$ שלוש תת-חבורות מסדר ${\displaystyle 2}$, ועל פי המשפט היסודי הן מתאימות להרחבות ${\displaystyle E/F(\theta ),E/F(\theta \omega ),E/F(\theta \omega ^{2})}$. תת-חבורות אלו אינן נורמליות ולכן ההרחבות ${\displaystyle F(\theta )/F,F(\theta \omega )/F,F(\theta \omega ^{2})/F}$ אינן גלואה.

כמו כן לחבורה הסימטרית ${\displaystyle S_{3}}$ תת-חבורה אחת מסדר ${\displaystyle 3}$ – חבורת התמורות הזוגיות. לתת-חבורה זו מתאימה ההרחבה ${\displaystyle E/F(\omega )}$ ומכיוון שזוהי תת-חבורה נורמלית, ההרחבה ${\displaystyle F(\omega )/F}$ היא הרחבת גלואה עם חבורת גלואה מסדר 2 (קיימת רק חבורה אחת שכזו).

התאמת גלואה איננה נשארת נכונה כאשר הרחבת השדות איננה מממד סופי – לא לכל תת-חבורה מתאימה הרחבת ביניים. בכל זאת, המבנה של הרחבה אינסופית ידוע ומכליל את המקרה הסופי.

ראשית, יש להבין מהי חבורת גלואה במקרה האינסופי. נניח כי נתונה הרחבת שדות ${\displaystyle K/k}$, ונניח כי ${\displaystyle N/M/L/k}$ הוא מגדל הרחבות סופיות המוכלות ב-${\displaystyle K}$. בהתאם למשפט במקרה הסופי, ישנו אפימורפיזם ${\displaystyle \phi _{ML}:\operatorname {Gal} (M/k)\to \operatorname {Gal} (L/k)}$, ומתקיים ${\displaystyle \phi _{NL}=\phi _{ML}\circ \phi _{NM}}$. לכן, המערכת ${\displaystyle (\operatorname {Gal} (L/k),\phi _{ML})}$ עבור כל הרחבות גלואה היא מערכת פרויקטיבית, ולכן מוגדרת חבורת הגבול ההפוך שלה ${\displaystyle \varprojlim {\operatorname {Gal} (L/k)}}$. למעשה זוהי חבורה טופולוגית, מצוידת בטופולוגיה הפרו-סופית, כאשר על כל חבורה סופית נתונה הטופולוגיה הדיסקרטית. מתקיים:

משפט: ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K/k)\cong \varprojlim {\operatorname {Gal} (L/k)}}$. בפרט, החבורה היא פרו-סופית.

כעת, ננסח את ההכללה של משפט גלואה.

משפט: בהינתן הרחבת גלואה ${\displaystyle K/k}$, ישנה התאמה מלאה (כמו במקרה הסופי) בין תתי-הרחבות לבין תתי-חבורות סגורות של ${\displaystyle {\operatorname {Gal} (K/k)}}$, ומתקיימות אותן הטענות כמו במשפט הרגיל.

המשפט מכליל את המקרה הסופי, שכן אז הטופולוגיה דיסקרטית וכל תת-חבורה ממילא סגורה. בניגוד למקרה הסופי, התאוריה במקרה האינסופי שונה ועשירה יותר: בכל הרחבה אינסופית קיימת תת-חבורה לא סגורה (למשל בת מנייה), ולכן לא מתאים לה שדה.

ניתן לתת ניסוחים נוספים למשפט גלואה האינסופי, באמצעות אלגברת Étale וניסוח אחר באמצעות כיסוי גלואה.

• יהי ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ השדה הסופי מסדר ${\displaystyle p}$, ויהי ${\displaystyle {\mathbb {F} _{p}}_{s}}$ סגור ספרבילי שלו. היות שקיים שדה סופי יחיד מכל סדר ${\displaystyle p^{n}}$ והוא בעל חבורת גלואה ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$, חבורת גלואה האינסופית היא חבורת ההשלמה הפרו-סופית של השלמים, כלומר ${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\mathbb {F} _{p}}_{s}/\mathbb {F} _{p})\cong {\hat {\mathbb {Z} }}}$.
• חבורת גלואה של הרחבת כל השורשים ה-${\displaystyle \{p^{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ פרימיטיביים היא ${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\mu _{p^{\infty }})/\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$, חבורת השלמים ה-p-אדיים, וחבורת גלואה של הרחבת כל השורשים הפרימיטיביים היא ${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\mu )/\mathbb {Q} )\cong {\hat {\mathbb {Z} }}^{\times }}$.
• תת-החבורה ${\displaystyle \mathbb {Z} \leq {\hat {\mathbb {Z} }}}$ היא בת מנייה ולכן לא סגורה, ולכן למשל בדוגמה הראשונה לא מתאים לה שדה ביניים.

מדיה וקבצים בנושא המשפט היסודי של תורת גלואה בוויקישיתוף

• גדי אלכסנדרוביץ', המשפט היסודי של תורת גלואה, באתר "לא מדויק", 21 במאי 2018