אלגורט נולד בעיר ניו יורק שבארצות הברית לאב יהודי ולאם נוצרייה. אביו הוא צלם האופנה של מגזין "ווג" ארתור אלגורט, לו אח גדול, וורן, המשמש כצלם קולנוע, ואחות גדולה, סופי, העובדת כצלמת אף היא. סבתו מצד אימו הייתה חברה במחתרת הנורווגית במהלך מלחמת העולם השנייה, היא הצילה ילדים נורווגים-יהודים באמצעות העברתם לשוודיה הנייטרלית, ובשל כך היא נכלאה במחנה ריכוז.
אלגורט התנסה לראשונה במשחק בשנת 2012 על בימת התיאטרון אוף ברודוויי ובשנת 2013 שיחק בפעם הראשונה בסרט קולנועי "קארי", העיבוד המודרני לסרט האימה הקלאסי משנות ה-70. בסרט הופיע אלגורט בתפקיד התלמיד המקובל טומי רוס.
בשנת 2014 שיחק אלגורט בעיבוד הקולנועי לרומן "אשמת הכוכבים" בתפקיד הצעיר חולה הסרטן אוגאסטוס ווטרס. תפקיד זה היה תפקיד הפריצה של אלגורט, שבעבורו הוא זכה בפרסי קולנוע רבים.
באותה שנה השתתף גם בסרט הפעולה "מפוצלים" בתפקיד כיילב, אחיה הגדול של גיבורת העלילה, הנערה ביאטריס פריור (שיילין וודלי).
באוקטובר 2014 שיתף פעולה עם קייטלין דוור בסרט "גברים, נשים וילדים".
אלגורט משמש כדי ג'יי תחת שם הבמה "אנסולו". בשנת 2014 הוציא את שני תקליטיו הראשונים "Unite" ו-"Totem" ושחרר רמיקס מוצלח ל"Strong" של ארנו קוסט ונורמן דוריי בחברת התקליטים Size Records של סטיב אנגלו. בספטמבר 2015 שחרר את "To Life" תחת UMG Recordings. אנסולו הוזמן רבות לנגן באירועי הפסטיבל האמריקאי Ultra Music Festival בכל רחבי העולם וביניהם במיאמי, יפן, קוריאה, באלי ועוד.