טנסמן נולד וגדל בלודז' שבפולין, שלא הייתה אז מדינה עצמאית אלא חלק מהאימפריה הרוסית. במכתב משנת 1980 אל חוקר אמריקאי כתב המלחין על ילדותו ומורשתו:
... משפחת אבי באה מפינסק וידעתי על רב מפורסם שהיה שאר בשר שלו. אבי מת צעיר מאוד, והיו בוודאות שני ענפים, ואולי יותר, של המשפחה, שהיו, כמונו, עשירים מאוד: היו לנו בלודז' כמה בתים, שתי מחנכות (צרפתיה וגרמניה) שחיו עמנו, וכן הלאה. לאבי הייתה אחות, שהשתקעה בישראל ונישאה שם. פגשתי את משפחתה במסעות קונצרטים שלי בישראל. ... משפחתי הייתה, בכל הנוגע לדת, ליברלית מאוד ולא שמרה מצוות. אמי הייתה בתו של פרופסור לאון גורביץ'.
קריירה
טנסמן החל בלימודי מוזיקה בקונסרבטוריון של לודז' ואת הדוקטורט שלו עשה במשפטים באוניברסיטת ורשה. זמן קצר אחרי השלמת לימודיו, עבר טנסמן לפריז, שם התקבלו רעיונותיו המוזיקליים בעין יפה וזכו לעידוד מצד מדריכיו ומשפיעי דרכו, איגור סטרווינסקי ומוריס ראוול, זאת בניגוד לאקלים המוזיקלי השמרני יותר במולדתו, פולין. בתקופת שהותו בפריז, התרועע טנסמן עם חבורה של מוזיקאים זרים, שנודעה בשם "אקול דה פרי"; הונגר ומיו ניסו לשדל אותו להצטרף לקבוצת השישה, אך הוא סירב, בטענה שלצורך יצירה דרושה לו עצמאות (בהמשך כתב טנסמן מונוגרפיה של סטרווינסקי, שהתקבלה בהתלהבות רבה.)[1]
טנסמן הגדיר עצמו תמיד כמלחין פולני, אף כי בביתו דיבר צרפתית ונישא לפסנתרנית צרפתייה, קולט קְרָא.
ב-1941 נמלט טנסמן מאירופה מחמת האיום על חייו כיהודי לאחר הכיבוש הנאצי והיגר ללוס אנג'לס, בעזרת ידידו, צ'ארלי צ'פלין, שהצליח להשיג בשבילו ויזה לארצות הברית. בלוס אנג'לס התוודע אל ארנולד שנברג. טנסמן חיבר את הפסקול לשני סרטים הוליוודיים לפחות: "בשר ופנטזיה", בכיכובה של ברברה סטנוויק, וסרט על חייה של חוקרת הרפואה האחות אליזבת קני, בכיכובה של רוזלינד ראסל. בסך הכל חיבר מוזיקה לשישה סרטים[2] ואף היה מועמד לפרס האוסקר בקטגוריית המוזיקה הטובה ביותר לסרט דרמטי או קומי לשנת 1946, לסרט "המחתרת הפריזאית".
טנסמן שב לפריז אחרי המלחמה, אך היעלמותו מזירת ההתרחשויות המוזיקליות באירופה השאירה אותו מאחור, מחוץ לזרמים המוזיקליים של התקופה ולא עוד טרי ורענן בזיכרונם של המאזינים, מצב שהאט את התקדמות הקריירה שלו, לאחר העלייה המהירה שידעה בעבר. כשמצא שאיננו מצוי עוד באופנות הצרפתיות, שהתקדמו לסגנון האוונגרד, חזר טנסמן לשורשיו המוזיקליים ונעזר ברקע היהודי והפולני שלו לכתיבת כמה מיצירותיו הגדולות ביותר. במהלך הזמן הזה חידש את קשריו עם פולין, אף כי הקריירה והמשפחה החזיקוהו בצרפת, שם חי עד מותו ב-1986.
לפי אגודת הסופרים והמלחינים הפריזאית, טנסמן השתמש בשם העט "סטן אלסון" כשהלחין מוזיקת ג'אז.
עיר הולדתו, לודז', מקיימת מדי שנתיים תחרות למוזיקאים מבטיחים על שם אלכסנדר טנסמן, לקידום המוזיקה שלו והתרבות המקומית.
יצירותיו של טנסמן כתובות בסגנון בנאו-קלאסי הצרפתי של ביתו המאומץ, ובסגנונות הפולניים של מולדתו, הנשענים על מורשתו היהודית. כמי שניצב כבר בשולי החשיבה המוזיקלית כשעזב את פולין (מבקרי מוזיקה התייחסו בפקפוק לכתיבתו הכרומטית ולעיתים פוליטונאלית), אימץ לו את ההרמוניות המורחבות של ראוול ביצירתו ולאחר זמן השוו אותו לסקריאבין בהתרחקות מטונאליות מקובלת.
באחד ממכתביו מצהיר טנסמן, כי "ברור שאני חב הרבה לצרפת, אבל כל מי ששמע אי פעם את חיבורי אינו יכול להטיל ספק בכך שהייתי, הנני ותמיד אהיה מלחין פולני." אחרי שופן, ייתכן ששופן הוא התומך הראשון במעלה בצורות הפולניות המסורתיות כמו פולונז ומזורקה; הן נכתבו בהשראתו של שופן ובמקרים רבים כהוקרה למלחין זה. מקורות ליצירות אלה, שאופיין נע ממיניאטורות קלילות ליצירות ראווה וירטואוזיות, מצא טנסמן בנושאים מן הפולקלור הפולני המסורתי והתאים אותם לסגנונו הנאו-קלאסי המובהק. עם זאת, הוא לא כתב מוזיקה לשירי העם עצמם, כפי שהסביר בראיון רדיו: "מעולם לא השתמשתי בשיר עם פולני בצורתו המקורית ממש, גם לא ניסיתי ללהרמן שיר כזה מחדש. לדעתי, כשמשווים אופי מודרני לשיר פופולרי זה מקלקל אותו. יש לשמר אותו בהרמוניה המקורית שלו."