קוצ'ר החל את קריירת הכדורגל שלו במועדון הכדורגלדינמו קייב. הוא גדל במחלקת הנוער שלה. בשנת 2000 עבר לקבוצה הבוגרת של ארסנל חרקוב. לאחר שתי עונות בארסנל עבר למטאלורג דונצק. באופן רשמי היה שחקן של מטאלורג במשך 3 שנים, אך בפועל הושאל בתקופה זו לשתי קבוצות: בננטס ירוואן הארמנית ולחרקוב האוקראינית. בשנת 2005 נמכר כרטיס השחקן שלו לקבוצת מטאליסט חרקוב. בתום עונה מוצלחת במדי מטאליסט, הציעה הנהלת קבוצת הצמרת האוקראינית שחטאר דונצק לקוצ'ר לעבור לשורותיה. מאז הוא שחקן קבוע בהרכב הקבוצה.
ביוני 2017 תם חוזה של קוצ'ר עם שחטאר. שני הצדדים החליטו לא לחדש את ההסכם. קוצ'ר עזב את שחטאר ועבר לקבוצת קייסריספור מהליגה הטורקית. בשנת 2019 חזר לאוקראינה והצטרף לצוות השחקנים של קבוצת קרפטי לבוב. בתחילת 2020 עבר לקבוצת מטאל חרקוב. בקיץ 2020 הודיע על פרישה ממשחק פעיל.