Unha ecuación de primeiro grao ou ecuación linear significa que é unha ecuación que involucra unha ou máis variables elevadas á primeira potencia, que non contén produtos entre as variables, é dicir, que só inclúe sumas e restas de variables á primeira potencia. En todo anel conmutativo poden definirse ecuacións de primeiro grao.

Unha ecuación dunha variable ${\displaystyle mx+n=0}$ definida sobre un corpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$, é dicir, con ${\displaystyle \{m,n,x\}\subset \mathbb {K} ,m\neq 0}$ onde x é a variable, admite a seguinte solución:

${\displaystyle x=-{\frac {n}{m}}}$

Cando tanto a incógnita como os coeficientes son elementos dun anel que non é un corpo, o asunto é máis complicado xa que só existirán solucións cando m divide a n:

${\displaystyle \exists k:n=m\cdot k\Rightarrow x=-k}$

No sistema cartesiano representan rectas. Unha forma común das ecuacións lineares de dúas variables é:

${\displaystyle y=mx+n}$;

Onde ${\displaystyle m}$ representa a pendente e o valor de ${\displaystyle n}$ determina o punto onde a recta corta o eixe Y (a ordenada na orixe).

Algúns exemplos de ecuacións lineares:

${\displaystyle 3x+2y=5}$

${\displaystyle 3x+y-5=-7x+4y+3}$

${\displaystyle x-y+z=15}$

${\displaystyle 3x-2y+z=20}$

${\displaystyle x+4y-3z=10}$

Formas complexas como as anteriores poden reescribirse empregando as regras da álxebra elemental en formas máis simples. As letras maiúsculas representan constantes, mentres x e y son variables.

• Ecuación xeral

${\displaystyle Ax+By+C=0}$

A e B non son ambos cero. Representa unha liña no plano cartesiano. É posible atopar os valores onde x e y se anulan.

• Ecuación segmentaria ou simétrica

${\displaystyle {\frac {x}{E}}+{\frac {y}{F}}=1}$

Nin E nin F poden ser cero. O gráfico desta ecuación corta o eixe X e o eixe Y en E e F respectivamente.

• Forma paramétrica

1. ${\displaystyle x=Ut+x_{0}}$
2. ${\displaystyle y=Vt+y_{0}}$

Dúas ecuacións que deben cumprirse de xeito simultáneo, cada unha na variable t. Pode converterse á forma xeral despexando t en ambas as ecuacións e igualando. Nesta representación pode afirmarse que a recta pasa polo punto ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ e forma co eixe de abscisas un ángulo con tanxente: ${\displaystyle \tan \alpha =V/U}$

• Casos especiales:

${\displaystyle y=F}$

Un caso especial é a forma estándar onde ${\displaystyle A=0}$ y ${\displaystyle B=1}$ . O gráfico é unha liña horizontal sen intersección co eixe X ou (si F = 0) coincidente con ese eixe.

${\displaystyle x=E}$

Outro caso especial da forma xeral onde ${\displaystyle A=1}$ e ${\displaystyle B=0}$. O gráfico é unha liña vertical que interseca o eixe X en E.

${\displaystyle 0=0}$

Neste caso, todas as variables foron canceladas, deixando unha ecuación que é verdadeira en todos os casos. A forma orixinal (non unha tan trivial como a do exemplo) chámase identidade. O gráfico é todo o plano cartesiano, xa que a satisfai todos os pares de números reais x e y.

Se a manipulación alxébrica leva a unha ecuación como 1 = 0 entón a orixinal chámase inconsistente, ou sexa que non se cumpre para ningún par de números x e y. Un exemplo podería ser: ${\displaystyle 3x+2=3x}$.

Adicionalmente podería haber máis de dúas variables, en ecuacións simultáneas.

As ecuacións lineares de varias variables admiten tamén interpretacións xeométricas, cando os coeficientes da ecuación pertencen a un corpo. Así, unha función linear de dúas variables da forma

${\displaystyle f(x,y)=a_{1}x+a_{2}y}$

representa unha recta nun plano. En varias variables asumendo que tanto as variables ${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {K} }$ e os coeficientes ${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {K} }$, onde ${\displaystyle \mathbb {K} }$ é un corpo entón unha ecuación linear como

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}}$

representa un hiperplano de n-1 dimensións no espazo vectorial n-dimensional ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$.

Os sistemas de ecuacións lineares expresan varias ecuacións lineares simultaneamente e admiten un tratamento matricial. Para a súa resolución debe haber tantas ecuacións como incógnitas e o determinante da matriz ha de ser real e non nulo. Xeometricamente corresponden a interseccións de liñas nun único punto (sistema linear de dúas ecuacións con dúas incógnitas), planos nunha recta (dúas ecuacións lineares de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuacións lineares de tres incógnitas). Os casos nos que o determinante da matriz é nulo non posúen solución.

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcrcr}5\,x&-&3\,y&+&4\,z&=&8\\-3\,x&+&2\,y&+&6\,z&=&5\\4\,x&-&5\,y&+&3\,z&=&3\end{array}}\right.}$

Se se consideran n ecuacións de primeiro grao linearmente independentes definidas sobre un corpo entón existe solución única para o sistema se se dan as condicións do teorema de Rouché-Frobenius, e pode ser calculada mediante a regra de Cramer que é aplicable a calquera corpo. Se as ecuacións non son linearmente independentes ou non se dan as condicións do teorema a situación é máis complicada. Se o sistema se formula sobre un anel conmutativo que non sexa un corpo, a existencia de solucións é tamén máis complexa.

Unha función definida sobre un espazo vectorial é linear se e só se cumpre a seguinte proposición:

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$

${\displaystyle f(\alpha x)=\alpha f(x)}$

onde α é calquera escalar. Tamén se chama a f operador linear

• Función linear
• Ecuación de segundo grao

• Exercicios de ecuacións de primeiro grao