Ecuación diferencial

Unha vez coñecidas a velocidade e a posición dun cometa nun instante t, a resolución dunha ecuación diferencial permite determinar a súa traxectoria exacta.

Unha ecuación diferencial é a relación entre unha ou máis variábeis e as súas derivadas.

As ecuación diferenciais divídense en dous grandes grupos, con técnicas de resolución diferentes:

Por exemplo onde é a variábel dependente, a variábel independente e a derivada de con respecto a .
Como .

Historia

Aínda que desde os comezos da mecánica se utilizaron métodos para relacionar taxas de cambio, non é até o desenvolvemento do cálculo que se pode comezar a falar de ecuacións diferenciais, a expresión parece que foi utilizada por vez primeira por Leibniz en 1676 [1]. A primeira clasificación das ecuacións de primeira orde débese a Newton. A finais de século, os irmán Bernoulli introducen o concepto de integrar unha ecuación e o procedemento de separación de variábeis. Euler sistematiza estes traballos e varios posteriores e crea a primeira teoría da ecuacións diferenciais, que segue sendo útil hoxe, aínda que moi ampliada.

Resolución de ecuacións diferenciais

Existen moitos métodos para resolver unha ecuación diferencial, porén non todas as ecuacións teñen solución, e non sempre se pode chegar a ela por métodos analíticos.

unha solución dunha ecuación diferencial é unha función que satisfai a ecuación diferencial para todos os valores de x nun intervalo de interese.[2]

Tipos

As ecuacións diferenciais poden dividirse en varios tipos. Á parte de describir as propiedades da ecuación en si, as clases de ecuacións diferenciais poden axudar a facer a escolla da aproximación a unha solución. É moi común que estas distincións inclúan se a ecuación é Ordinaria/Derivadas Parciais, Linear/Non linear e Homoxénea/Non homoxénea.

Ecuacións diferenciais ordinarias

A traxectoria dun proxectil lanzado dende un canón segue unha curva definida por unha ecuación diferencial ordinaria que se obtén a partir da segunda lei de Newton.

Unha ecuación diferencial ordinaria (EDO) é unha ecuación que contén unha función dunha variable independente e as súas derivadas. O temo "ordinaria" emprégase como contraste coa ecuación en derivadas parciais que pode ser respecto a máis dunha variable independente.

As ecuacións diferenciais lineares, que teñen solucións que poden sumarse e ser multiplicadas por coeficientes, están ben definidas e comprendidas, e teñen solucións exactas que poden ser calculadas. En contraste, as EDOs cuxas solucións non poden sumarse son non lineares, e a súa solución é máis intricada, e moi poucas veces poden ser calculadas en forma exacta de funcións elementais: as solucións adoitan obterse en forma de series ou forma integral. Os métodos numéricos e gráficos para EDOs poden aproximar as solucións das ecuacións e o seu resultado pode ser moi útil, moitas veces suficientes como para prescindir da solución exacta e analítica.

Ecuación en derivadas parciais

Variación do perfil de temperaturas solución da ecuación da calor nun problema bidimensional.

Unha ecuación en derivadas parciais (EDP) é unha ecuación diferencial que contén unha función multivariable e as súas derivadas parciais. Estas ecuacións empréganse para formular problemas que involucran funcións de varias variables, e poden resolverse manualmente, para crear unha simulación por ordeador.

As EDPs poden empregarse para describir unha ampla variedade de fenómenos como o son, a calor, a electrostática, a electrodinámica, a fluidodinámica, a elasticidade, ou a mecánica cuántica. Estes distintos fenómenos físicos poden formalizarse mediante EDPs. Con ecuacións diferenciais ordinarias é moi común realizar modelos unidimensionais de sistemas dinámicos, e as ecuacións diferenciais parciais poden empregarse para modelos de sistemas multidimensionais. As EDPs teñen unha xeneralización nas ecuacións en derivadas parciais estocásticas.

Ecuacións diferenciais lineares

Unha ecuación diferencial é linear se a función descoñecida e as súas derivadas que aparecen son de potencia 1 (non se permiten os produtos da función descoñecida e as súas derivadas). A propiedade característica das ecuacións lineares é que as súas solucións teñen a forma dun subespazo afín dun espazo de solucións apropiados, cun resultado que se desenvolve na teoría das ecuacións diferenciais lineares.

As ecuacións diferenciais lineares homoxéneas son unha subclase das ecuacións diferenciais lineares para a que o espazo de solucións é un subespazo linear, é dicir, a suma de calquera conxunto de solucións ou múltiplos de solucións, é tamén unha solución. Os coeficientes da función descoñecida e as súas derivadas nunha ecuación diferencial linear poden ser funcións da variable ou variables independentes; se estes coeficientes son constantes, fálase de ecuacións diferenciais lineares con coeficientes constantes.

Dise que unha ecuación é linear se ten a forma:

É dicir:

  1. Nin a función nin as súas derivadas están elevadas a ningunha potencia distinta dun ou cero.
  2. En cada coeficiente que aparece multiplicándoas só intervén a variable independente.
  3. Unha combinación linear das súas solucións é tamén solución da ecuación.

Exemplos:

  • é unha ecuación diferencial ordinaria linear de primeira orde, ten como solucións , con k un número real calquera.
  • é unha ecuación diferencial ordinaria linear de segunda orde, en como solucións , con a e b reais.
  • é unha ecuación diferencial ordinaria linear de segunda orde, ten como solucións , con a e b reais.

Ecuacións diferenciais non lineares

Existen moi poucos métodos para resolver ecuacións diferenciais non lineares de forma exacta. As ecuacións diferenciais non lineares poden amosar un comportamento moi complicado en intervalos grandes de tempo, característica do caos. Cada unha das cuestións fundamentais da existencia, unicidade e extensibilidade das solucións para ecuacións diferenciais non lineares, e o problema das definicións das condicións iniciais e do contorno para EDPs non lineares son problemas difíciles e a súa resolución en casos especiais considérase que é un avance significativo na teoría matemática (por exemplo a existencia e suavidade de Navier-Stokes). Porén, se a ecuación diferencial é unha representación dun proceso físico significativo formulado correctamente, entón espérase que teña solución.[3]

As ecuacións diferenciais lineares adoitan aparecer por medio de aproximacións a ecuacións lineares. Estas aproximacións son válidas unicamente baixo condicións restrinxidas. Por exemplo, a ecuación do oscilador harmónico é unha aproximación da ecuación non linear dun péndulo que é válida para pequenas amplitudes de oscilación.

Ecuacións semilineares e cuasilineares

Non existe un procedemento xeral para resolver ecuacións diferenciais non lineares. Non obstante, algúns casos particulares de non linearidade si se poden resolver. Son de interese o caso semilinear e o caso cuasilinear.

Unha ecuación diferencial ordinaria de orde n chámase cuasilinear se é "linear" na derivada de orde n. Máis especificamente, se a ecuación diferencial ordinaria para a función pode escribirse na forma:


dise que a ecuación é cuasilinear se é unha función afín, é dicir, .

Unha ecuación diferencial ordinaria de orde n chámase semilinear se pode escribirse como suma dunha función "linear" da derivada de orde n máis unha función calquera do resto de derivadas. Formalmente, se a ecuación diferencial ordinaria para a función pode escribirse na forma:


dise que a ecuación é semilinear se é unha función linear.

Orde da ecuación

As ecuacións diferenciais descríbense pola súa orde, determinada polo termo con derivadas de maior orde. Unha ecuación que contén só derivadas simples é unha ecuación diferencial de primeira orde, unha ecuación que contén ata derivadas segundas é unhaecuación diferencial de segunda orde, e así sucesivamente.[4][5]

Exemplos de orde en ecuacións:

  • Ecuación diferencial de primeira orde:
  • Ecuación diferencial de segunda orde:
  • Ecuación diferencial de terceira orde:

Grao da ecuación

É a potencia da derivada de maior orde que aparece na ecuación, sempre e cando a ecuación estea en forma polinómica; de non ser así considérase que non ten grao.

Exemplos

No primeiro grupo de exemplos, sexa u unha función descoñecida que depende de x, e c e ω son constantes coñecidas.

  • Ecuación diferencial ordinaria linear con coeficientes constantes de primeira orde:
  • Ecuación diferencial ordinaria linear homoxénea de segunda orde:
A masa colgada do resorte forma un oscilador harmónico; unha ecuación diferencial permite expresar as relacións que debe obedecer o movemento da masa.
  • Ecuación diferencial ordinaria linear con coeficientes constantes homoxénea de segunda orde que describe un oscilador harmónico:
  • Ecuación diferencial ordinaria non linear non homoxénea de primeira orde:
  • Ecuación diferencial ordinaria non linear (debido á función seno) de segunda orde, que describe o movemento dun péndulo de lonxitude L:

No seguinte grupo de exemplos, a función descoñecida u depende de dúas variables x e t ou x e y.

  • Ecuación en derivadas parciais linear homoxénea de primeira orde:
Ecuación de Laplace sobre unha coroa (r=2 e R=4) con condicións de contorno de Dirichlet: u(r=2)=0 e u(r=4)=4sin(5*θ)
  • Ecuación en derivadas parciais linear homoxénea con coeficientes constantes de segunda orde do tipo elíptico, a ecuación de Laplace:

Notas

  1. "Historia de las ecuaciones diferenciales" (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 06 de marzo de 2007. Consultado o 25 de novembro de 2007. 
  2. Campell, Haberman, páxina 6
  3. Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (1967). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (en inglés) (4ª ed.). John Wiley & Sons. 
  4. Weisstein, Eric W. "Ordinary Differential Equation Order". MathWorld (en inglés). 
  5. "Order and degree of a differential equation" (en inglés). Arquivado dende o orixinal o 01 de abril de 2016. Consultado o 4 de abril de 2016. 

Véxase tamén

Bibliografía

Read other articles:

Motif in art and culture For use in biology (phylogeny), see Tree of life (biology). For other uses, see Tree of life (disambiguation). An 1847 depiction of the Norse Yggdrasil as described in the Icelandic Prose Edda by Oluf Olufsen Bagge 17th-century depiction of the tree of life in Palace of Shaki Khans, Azerbaijan Confronted animals, here ibexes, flank a tree of life, a very common motif in the art of the ancient Near East and Mediterranean Breastfeeding before an Egyptian sycamore The tr...

 

 

Kaisarea Maritima beralih ke halaman ini. Untuk kegunaan lain, lihat Kaisarea (disambiguasi). Kaisarea קֵיסָרְיָהTranskripsi Ibrani • standarKeisarya • resmiQesaryaKaisarea MaritimaDistrikHaifaLuas35.000 dunams (35 km2 or 14 sq mi)Populasi (2006)4.400 • Kepadatan0,13/km2 (0,33/sq mi) Kaisarea (atau Kaisaria; Ibrani: קֵיסָרְיָה, qaisariyah; Arab: قيساريةcode: ar is deprecated , Qaysaria;...

 

 

Untuk versi televisi 2015, lihat The Dresser (film 2015). The DresserSutradaraPeter YatesProduserPeter YatesDitulis olehRonald HarwoodPemeran Albert Finney Tom Courtenay Edward Fox Zena Walker Eileen Atkins Michael Gough Cathryn Harrison Penata musikJames HornerSinematograferKelvin PikePenyuntingRay LovejoyDistributorColumbia PicturesTanggal rilis 9 Desember 1983 (1983-12-09) Durasi118 menitNegaraBritania RayaBahasaInggrisPendapatankotor$5,310,748 The Dresser adalah sebuah film 198...

Historic building in Salt Lake City, Utah, U.S. United States historic placeThomas Kearns Mansion and Carriage HouseU.S. National Register of Historic Places Governor's Mansion, March 2010Show map of UtahShow map of the United StatesLocation603 East South Temple StreetSalt Lake City, UtahUnited StatesCoordinates40°46′11″N 111°52′23″W / 40.76972°N 111.87306°W / 40.76972; -111.87306Area9 acres (3.6 ha)Built1900-02ArchitectNeuhausen, Carl M.NRHP refe...

 

 

Modern tradition of Wicca This article does not cite any sources. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Faery Wicca – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (July 2023) (Learn how and when to remove this template message) Faery WiccaAbbreviationFWPart of a series onWiccaPentacle History of Wicca History of Wicca Etymology of Wicca Bricket Wood coven ...

 

 

Village in Lancashire, England Human settlement in EnglandCoupe GreenThe Old Oak Inn public house, Coupe GreenCoupe GreenShown within South RibbleShow map of the Borough of South RibbleCoupe GreenLocation within LancashireShow map of LancashireOS grid referenceSD592275DistrictSouth RibbleShire countyLancashireRegionNorth WestCountryEnglandSovereign stateUnited KingdomPost townPRESTONPostcode districtPR5Dialling code01254PoliceLancashireFireLancashireAmbulanceNort...

Mitsubishi 1MF9 atau Mitsubishi Experimental Taka-type Carrier Fighter adalah prototipe pesawat tempur Jepang tahun 1920-an. Biplane satu kursi tunggal bermesin dimaksudkan untuk beroperasi dari kapal induk Angkatan Laut Kekaisaran Jepang, tetapi hanya dua yang dibangun, dengan tipe yang sedang ditolak oleh Angkatan Laut. Referensi Wikimedia Commons memiliki media mengenai Mitsubishi military aircraft. Mikesh, Robert C and Shorzoe Abe. Japanese Aircraft 1910–1941. London:Putnam, 1990. ISBN...

 

 

Metre-based systems of measurement For a topical guide, see Outline of the metric system. A kilogram mass and three metric measuring devices: a tape measure in centimetres, a thermometer in degrees Celsius, and a multimeter that measures potential in volts, current in amperes and resistance in ohms. The metric system is a decimal-based system of measurement. The current international standard for the metric system is the International System of Units (Système international d'unités or SI), ...

 

 

Public university in Hamilton, Ontario McMaster UniversityArms of McMaster UniversityLatin: Universitas MacmastrensisMottoΤὰ πάντα ἐν Χριστῷ συνέστηκεν (Greek)Motto in EnglishIn Christ all things consist[1]TypePublic universityEstablished23 April 1887(137 years ago) (1887-04-23)[note 1][4]AffiliationACUCARLCOUFields InstituteIAUUniversities CanadaU15U21EndowmentCA$908.7 million[5]ChancellorSantee SmithPresidentDav...

1993 single by Common SenseSoul by the PoundSingle by Common Sensefrom the album Can I Borrow a Dollar? B-sideCan-I-Bust, Heidi HoeReleasedJuly 13, 1993GenreHip hopLength4:20LabelRelativity RecordsSongwriter(s)Common, No I.D., Anthony CraigProducer(s)Immenslope, The Twilite ToneCommon Sense singles chronology Breaker 1/9 (1993) Soul by the Pound (1993) I Used to Love H.E.R. (1994) Soul by the Pound is the third single from rapper Common Sense's 1992 debut album, Can I Borrow a Dollar?. It...

 

 

Medan DenaiKecamatanPeta lokasi Kecamatan Medan DenaiMedan DenaiPeta lokasi Kecamatan Medan DenaiKoordinat: 3°34′32″N 98°43′30″E / 3.575501°N 98.725103°E / 3.575501; 98.725103Koordinat: 3°34′32″N 98°43′30″E / 3.575501°N 98.725103°E / 3.575501; 98.725103Negara IndonesiaProvinsiSumatera UtaraKotaMedanPemerintahan • CamatBaharuddin Ritonga[1]Populasi (2021)[2] • Total169.643 ...

 

 

فيلاهيرموسا (بالإسبانية: Villahermosa)‏    تاريخ التأسيس 24 يونيو 1564  تقسيم إداري البلد المكسيك  [1][2] عاصمة لـ تاباسكو  خصائص جغرافية إحداثيات 17°59′16″N 92°55′10″W / 17.9878375°N 92.919416111111°W / 17.9878375; -92.919416111111   المساحة 80 كيلومتر مربع  الارتفاع 11 متر  ا...

هذه المقالة بحاجة لصندوق معلومات. فضلًا ساعد في تحسين هذه المقالة بإضافة صندوق معلومات مخصص إليها. يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (ديسمبر 2018) قرن: ق�...

 

 

Chinese jelly made of mung bean starch For the southern Chinese dessert, see grass jelly. LiangfenSichuan-style liangfenTraditional Chinese涼粉Simplified Chinese凉粉Hanyu Pinyinliángfěn Literal meaningcool powderTranscriptionsStandard MandarinHanyu PinyinliángfěnYue: CantoneseJyutpingloeng4 fen2 Liangfen (simplified Chinese: 凉粉; traditional Chinese: 涼粉; pinyin: liángfěn; lit. 'cool powder'), also spelled liang fen, is a Chinese legume dish consisting...

 

 

العلاقات التنزانية السيشلية تنزانيا سيشل   تنزانيا   سيشل تعديل مصدري - تعديل   العلاقات التنزانية السيشلية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين تنزانيا وسيشل.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارنة عامة ومرجعية للدولتين: وجه المقارنة تنزا�...

Geometric figure The unit hyperbola is blue, its conjugate is green, and the asymptotes are red. In geometry, the unit hyperbola is the set of points (x,y) in the Cartesian plane that satisfy the implicit equation x 2 − y 2 = 1. {\displaystyle x^{2}-y^{2}=1.} In the study of indefinite orthogonal groups, the unit hyperbola forms the basis for an alternative radial length r = x 2 − y 2 . {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}-y^{2}}}.} Whereas the unit circle surrounds its center, the un...

 

 

Dalam nama yang mengikuti kebiasaan penamaan Slavia Timur ini, patronimiknya adalah Dmitriyevich dan nama keluarganya adalah Protasevich. Roman ProtasevichNama asalРоман Протасевич Раман ПратасевічLahirRoman Dmitryevich Protasevich5 Mei 1995 (umur 29)[1]Minsk,[butuh rujukan] BelarusPendidikanUniversitas Negeri BelarusPekerjaanWartawanaktivisfotograferTahun aktif2011–saat iniOrganisasiNextaGerakan politikFront PemudaPasanganSof...

 

 

ValstagnamunicipioValstagna – VedutaValstagna ed il fiume Brenta LocalizzazioneStato Italia Regione Veneto Provincia Vicenza ComuneValbrenta TerritorioCoordinate45°51′42″N 11°39′32″E45°51′42″N, 11°39′32″E (Valstagna) Altitudine157 m s.l.m. Abitanti1 816[1] (31-12-2015) SottodivisioniCollicello, Costa, Oliero, San Gaetano, Sasso Stefani Altre informazioniCod. postale36029 (già 36020) Prefisso0424 Fuso orarioUTC+1 Cod. catastaleL...

Extinct breed of scent hound This article is about the extinct breed of stag hunting scent hound. For other uses, see Staghound (disambiguation). Dog breedStaghoundOther namesEnglish StaghoundOriginEnglandBreed statusExtinctTraitsHeight Up to 27 in (69 cm)Coat ShortColour Usually bi-colour; white with yellow, lemon or badgerDog (domestic dog) The Staghound, sometimes referred to as the English Staghound, is an extinct breed of scent hound from England. A pack hound, the breed was us...

 

 

Three meals eaten by Shabbat-observant Jews on Shabbat Part of a series onJudaism   Movements Orthodox Haredi Hasidic Modern Conservative Conservadox Reform Karaite Reconstructionist Renewal Humanistic Haymanot Philosophy Principles of faith Kabbalah Messiah Ethics Chosenness God Names Musar movement Texts Tanakh Torah Nevi'im Ketuvim Ḥumash Siddur Piyutim Zohar Rabbinic Mishnah Talmud Midrash Tosefta Law Mishneh Torah Tur Shulchan Aruch Mishnah Berurah Aruch HaShulchan Kashrut Tz...