Yann Genty débute le handball au sein du club de Saint-Gratien à l'âge de quatre ans et demi[4]. À l'adolescence, alors qu'il évolue aux postes d'ailier gauche ou droit, le gardien de but de l'équipe, Érik Boisse, décide de se consacrer pleinement à l'escrime et deviendra champion olympique d'épée par équipe en 2004. Yann Genty passe alors dans les cages[4].
Le , à 37 ans, il est pour la première fois convoqué en équipe de France[7] pour les deux derniers matchs de qualification à l'Euro 2020. A 37 ans, tout vient à point pour qui sait attendre une consécration tardive. Le lendemain, il remporte son premier trophée, la Coupe de France. Puis, le , il est élu pour la deuxième fois meilleur gardien de but du championnat de France. Enfin, en juillet 2019, sa signature au Paris Saint-Germain à compter de l'intersaison 2020 est annoncée[8].
En , il participe à sa première compétition internationale avec les Bleus à l'occasion du Championnat d'Europe 2020. Formant la paire avec Vincent Gérard, il ne peut empêcher la défaite de la France face au Portugal lors du premier match. Pire, il se blesse à la fin du match et est contraint de laisser sa place à Wesley Pardin pour la suite de la compétition[9]. Au Championnat du monde 2021, c'est exactement l'inverse qui se produit : troisième gardien de l'équipe de France, c'est cette fois Wesley Pardin qui se blesse gravement lors du troisième match et Genty redevient le n°2 derrière Vincent Gérard. S'il ne cumule que 12 arrêts à 24% et 1 h 14 min 56 s de jeu, il contribue au bon parcours de la France qui atteint les demi-finales pour finir au pied du podium.
Il est ensuite retenu par Guillaume Gille pour participer au TQO puis aux Jeux olympiques de 2020. S'il a un temps de jeu limité derrière un Vincent Gérard qui sera élu meilleur gardien de la compétition, il rentre à la 55e minute de la finale pour un troisième jet de 7m face à Mikkel Hansen alors que le score est de 23-21 : Genty reste sur sa ligne, stoppe le tir d'Hansen et contribue ainsi à la médaille d'or olympique remportée par les Bleus[2]. Trois semaines plus tard, alors qu'il va avoir 40 ans en décembre, il annonce mettre un terme à sa carrière internationale[2].
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