Bykov entre dans l'équipe de hockey de l'Institut d'agriculture de Tcheliabinsk, où il étudie dès 1976 afin de devenir ingénieur agronome. À 18 ans pourtant, il prend la décision d'abandonner ses études pour devenir hockeyeur professionnel et intègre l'équipe du Metallourg Tcheliabinsk (club de deuxième division soviétique). L'année suivante, il est remarqué par les dirigeants du Traktor de Tcheliabinsk, club de première division au sein duquel il joue durant deux ans.
Dès 1982, Viatcheslav Bykov rejoint le HK CSKA Moscou (club de première division de l'armée soviétique). Il y rejoint des vedettes telles que la ligne d'attaque « KLM » : Kroutov - Larionov - Makarov. Force, endurance et résistance sont les leitmotiv de l'entraîneur Victor Tikhonov, et la souffrance de la vie en caserne est permanente.
Au sein de ce prestigieux club, il gagne sept fois le championnat d'URSS. Au niveau international, il remporte des titres de champion du monde avec l'équipe d'URSS (1983, 1986, 1989 et 1990) puis de Russie (1993), de champion olympique avec l'URSS à Calgary (1988) et est élu meilleur centre du championnat du monde à Stockholm (1989).
C'est également en 1982 qu'il épouse Nadia, avec laquelle il a deux enfants (Masha, née en 1983 et Andreï, né en 1988).
L'aventure fribourgeoise débute en 1990. Accompagné de sa famille et de son compatriote Andreï Khomutov, il s'installe en Suisse et rejoint les rangs du HC Fribourg-Gottéron. Il y joue durant sept saisons avec le maillot n°90. Il est reconnu par ses équipiers comme étant un partenaire privilégiant le contact humain, le jeu d'équipe et l'audace. Il participe aux Jeux d'Albertville en 1992 sous les couleurs de la CEI, et décroche ainsi le titre de champion olympique pour la seconde fois. Slava Bykov joue 302 matches pour l'équipe fribourgeoise, marque 611 points (226 buts et 385 assistances), pour une moyenne de 2,02 points par match. Il est sacré meilleur marqueur de la Ligue Nationale A au terme des saisons 1992, 1993 et 1994.
À l'expiration de son contrat avec Fribourg-Gottéron, Slava Bykov décide de rester en Suisse, au Lausanne Hockey Club, afin de préserver sa vie de famille. Il joue deux saisons sur les bords du lac Léman.
Cinq fois champion du monde, sept fois champion d'URSS, sept fois champion d'Europe, deux fois champion olympique, l'attaquant n'est jamais champion suisse.
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