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En mathématiques, une suite de vecteurs (x_n) dans un espace de Hilbert ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ est appelée suite de Riesz s'il existe des constantes ${\displaystyle 0<c\leq C<+\infty }$ telles que

${\displaystyle c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}x_{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)}$

pour toute suite de scalaires (a_n) dans l'espace ℓ².

Une suite de Riesz est appelée base de Riesz si

${\displaystyle {\overline {\mathop {\rm {vect}} (x_{n})}}=H}$ .

Si H est un espace de dimension finie, alors toute base de H est une base de Riesz.

Soit φ dans l'espace L²(R), soit

${\displaystyle \phi _{n}(x)=\phi (x-n)}$

et soit ${\displaystyle {\hat {\varphi }}}$ la transformée de Fourier de φ. On définit des constantes c et C telles que ${\displaystyle 0<c\leq C<+\infty }$. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes:

${\displaystyle 1.\quad \forall (a_{n})\in \ell ^{2},\ \ c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}\varphi _{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)}$

${\displaystyle 2.\quad c\leq \sum _{n}\left|{\hat {\varphi }}(\omega +2\pi n)\right|^{2}\leq C}$

La première des conditions ci-dessus est la définition pour que (φ_n) forme une base de Riesz pour le sous-espace qu'elle engendre.

• Base de Hilbert
• Espace de Hilbert

• Ole Christensen, « Frames, Riesz bases, and Discrete Gabor/Wavelet expansions », Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society, vol. 38, n^o 3,‎ 2001, p. 273–291 (lire en ligne)

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