Analyse globale
L'analyse globale est une branche des mathématiques qui traite des problèmes globaux d'analyse. Elle fait appel pour cela à des notions de topologie (topologie générale , topologie différentielle , topologie algébrique , topologie géométrique , théorie des espaces vectoriels topologiques ), de géométrie différentielle et d'analyse fonctionnelle . L'analyse globale a pour première caractéristique, par rapport à l'analyse locale, de faire appel à des concepts non linéaires, étant donné qu'un espace vectoriel (de dimension finie) n'est que l'approximation locale d'une variété différentielle . D'où le rôle prédominant que joue la géométrie différentielle en analyse globale, qui est une synthèse de l'analyse classique et de la géométrie[ 1] espace tangent de dimension infinie (espace de Hilbert , de Banach , de Fréchet , etc.). C'est pourquoi l'analyse globale, telle que l'a conçue James Eells vers la fin des années 1950 et dans les années 1960[ 2] , [ 3] , [ 4] variétés banachiques [ 5] N. Bourbaki [ 6] Serge Lang [ 7] Richard Palais [ 8] , [ 9] Jerrold E. Marsden [ 10] calcul des variations global (théorie de Morse ) pour lequel les variétés hilbertiennes ou banachiques sont parfaitement adaptées[ 11] , [ 12] , [ 13] , [ 14] Stephen Smale , l'analyse globale peut également se concevoir comme l'étude des équations différentielles , ordinaires et aux dérivées partielles , sur les variétés et les fibrés différentiels[ 15] , [ 16] , [ 17] stabilité structurelle de ces équations. L'étude globale des géodésiques fait bien entendu partie de l'analyse globale dans les deux acceptions qui viennent d'être précisées[ 18]
Les pionniers de l'analyse globale sont Henri Poincaré (années 1880), George David Birkhoff (années 1920), Marston Morse (années 1930), Hassler Whitney (années 1940) et Solomon Lefschetz (années 1950), ainsi que les représentants de l’École russe (Alexandre Liapounov , Aleksandr Andronov , Lev Pontriaguine )[ 1] variétés de Fréchet de fonctions
C
∞ ∞ -->
{\displaystyle C^{\infty }}
[ 19] , [ 20]
Notes
(en) Ralph Abraham , Jerrold E. Marsden et Tudor Ratiu , Manifolds, Tensor Analysis, and Applications , Addison-Wesley , 1983 N. Bourbaki , Variétés différentielles et analytiques - Fascicule de résultats (2nd édition) - (Première édition : Hermann, 1967) 1983 (lire en ligne ) (en) Serge Lang , Fundamentals of Differential Geometry , Springer, 1998 (ISBN 978-1-4612-6810-9
(en) James Eells Jr. , « On the geometry of function spaces », Symposium International de Topologia Algebraica Mexico 1958 , p. 303-308 (lire en ligne ) (en) James Eells Jr. , « On submanifolds of certain function spaces », Proc. Nat. Acad. Sci. USA vol. 45, 1959 , p. 1520-1522 (lire en ligne ) (en) James Eells Jr. , « A Setting for Global Analysis », Bulletin of the American Mathematical Society vol. 72, 1966 , p. 751-807 (lire en ligne ) (en) Donald W. Kahn , Introduction to Global Analysis , Academic Press , 1980 , 336 p. (ISBN 978-0-486-45782-6 (en) Andreas Kriegl et Peter W. Michor , The Convenient Setting of Global Analysis , American Mathematical Society , 1997 (lire en ligne ) (en) Richard Palais , Foundations of Global Non-Linear Analysis , W.A. Benjamin, Inc., 1968 (lire en ligne ) (en) Jacob T. Schwartz Nonlinear Functional Analysis , Gordon and Breach, 1969 , 236 p. (lire en ligne )
Livres
(en) Wilhelm Klingenberg , Lectures on Closed Geodesics , Springer, 1978 (en) Serge Lang , Introduction to Differentiable Manifolds , John Wiley, 1962 (en) Jerrold E. Marsden , Applications of Global Analysis in Mathematical Physics , Publish or Perish, Inc., 1974 (lire en ligne ) (en) Peter W. Michor , Manifolds of Differentiable Mappings , Shiva Publishing Ltd, 1980 (lire en ligne ) (en) Richard Palais , Seminar on the Atiyah-Singer Index Theorem , Princeton University Press , 1965 (lire en ligne ) (en) Richard Palais et Chuu-lian Terng , Critical Point Theory and Submanifold Geometry , Springer, 1988 (lire en ligne ) (en) Stephen Smale , Collected Papers (vol. 2 ) , Singapore University Press, 2000 , 1677 p. (ISBN 978-981-02-4992-2 lire en ligne )
Articles
(en) Richard Palais , « Morse Theory on Hilbert Manifolds », Topology vol. 2, 1963 , p. 299-340 (lire en ligne ) (en) Richard Palais , « The Morse lemma for Banach Spaces », Bulletin of the American Mathematical Society vol. 75, no 5, 1969 , p. 968-971 (lire en ligne ) (en) Richard Palais et Stephen Smale , « A Generalized Morse Theory », Bulletin of the American Mathematical Society vol. 70, no 1, 1964 , p. 165-172 (lire en ligne ) (en) Stephen Smale , « Differentiable Dynamical Systems », Bulletin of the American Mathematical Society vol. 73, no 6, 1967 , p. 747-817 (lire en ligne ) (en) Stephen Smale , « What is Global Analysis? », American Mathematical Monthly vol. 76, no 1, 1969 , p. 4-9 (lire en ligne ) (en) Karen K. Uhlenbeck , « Morse Theory on Banach Manifolds », Journal of Functional Analysis vol. 10, 1972 , p. 430-445 (lire en ligne )
Articles connexes
