La suite des nombresimpairs est arithmétique de raison 2.
En mathématiques, une suite arithmétique est une suite (le plus souvent une suite de réels) dans laquelle chaque terme permet de déduire le suivant en lui ajoutant une constante appelée raison.
Cette définition peut s'écrire sous la forme d'une relation de récurrence, pour chaque indice n :
Les suites arithmétiques satisfont une formule générale pour le calcul des termes ainsi que pour la série associée.
Terme général
Si (E, +) est un groupe — ou même seulement un ensemble muni d'une loi associative — et si est une suite arithmétique de E de raison r alors, pour tout entier naturel n :
Plus généralement, si la suite n'est définie qu'à partir de l'indice n₀ et si n ≥ p ≥ n₀ alors :
Une suite arithmétique est donc entièrement déterminée par la donnée de son premier terme un₀ et de sa raison r.
Réciproquement, une suite définie à partir de l'indice n₀ par
est arithmétique de raison r.
Si E = ℝ ou ℂ et si est une suite arithmétique de E alors, toute somme de termes consécutifs est égale au nombre de ces termes multiplié par la moyenne des deux termes extrêmes.
Par exemple :
Le cas particulier u₀ = 0 et r = 1 est la formule donnant la somme des entiers de 1 à n, dont diverses preuves sont présentées dans les deux articles détaillés. Il permet de montrer le cas général :