Après avoir été ministre fédéral des Télécommunications entre 1957 et 1966, il est désigné vice-président du Bundestag en 1976, puis président trois ans plus tard. Il est alors le premier chrétien-social à occuper ce poste, et reste le seul à ce jour. En 1983, avec le retour au pouvoir du centre-droit, il cède son poste à Rainer Barzel et redevient alors vice-président jusqu'à son retrait de la vie politique, en 1990.
Il travaille ensuite comme métallurgiste dans l'entreprise familiale à Heideck, puis fonde en 1957 la société BMS Ingenieurgesellschaft mbH & Co. KG, installée à Cologne et dont il se sépare en 1989.
Parcours politique
Activité militante
Après avoir adhéré au Parti national-socialiste des travailleurs allemands (NSDAP) en 1939, il fait partie, en 1945, des fondateurs de l'Union chrétienne-sociale en Bavière (CSU), à Heideck et dans l'arrondissement de Hilpoltstein. En 1953, il est élu membre du comité directeur, dont il reste membre pendant quatre ans, puis il fait son entrée à la présidence en 1967. Il la quitte en 1989.
Il retrouve la présidence du groupement provincial de la CSU le , et tente de nouveau de faire modifier le système électoral, toujours sans succès. Il conserve ce mandat jusqu'au , date à laquelle il est désigné vice-président du Bundestag sur proposition du groupe chrétien-démocrate. À la suite de l'élection de Karl Carstens à la présidence fédérale, Richard Stücklen le remplace à la présidence de l'assemblée le . Il occupe ce poste jusqu'au retour au pouvoir du centre-droit aux élections de 1983. Il cède alors la place à Rainer Barzel et redevient vice-président.
Le , alors qu'il préside une réunion du Bundestag, il exclut le député Vert Jürgen Reents après que celui-ci eut décrit le chancelier Helmut Kohl comme « acheté par Flick », une société ayant pratiqué la fraude fiscale tout en ayant versé d'importantes sommes d'argent aux principaux partis politiques allemands. Une de ses collègues, Christa Nickels, demande alors une suspension de séance mais Stücklen coupe son micro, ce qui amène Joschka Fischer à réagir ainsi : « Monsieur le président, avec tout le respect que je vous dois, vous êtes un trou du cul ! » (Mit Verlaub, Herr Präsident, Sie sind ein Arschloch). Exclu à son tour de la séance, il présente ses excuses deux jours plus tard.
Il se retire finalement de la vie politique lors des élections de 1990, après avoir siégé durant onze législatures consécutives, ce qui constitue alors un record. Il fait ainsi partie du groupe des dix députés, dont Ludwig Erhard, Franz Josef Strauß, Herbert Wehner ou encore Erich Mende, ayant appartenu au Bundestag au cours des vingt-cinq premières années de l'Allemagne de l'Ouest.