Neveu de l'ancien pilote de Formule 1Hans Binder, René Binder débute en monoplace en 2009 en ADAC Formel Masters, avec l'écurie Abt Sportsline. Il obtient trois podiums et termine 7e du championnat tandis que son équipier Daniel Abt, le fils du fondateur de l'écurie, est sacré champion.
En 2010, il prend part au championnat d'Allemagne de Formule 3 et rentre trois fois dans les points. Il obtient notamment un podium à Assen et il termine 12e avec 18 points. Il continue dans le même championnat en 2011 et termine cette fois-ci à la 8e place finale, avec une 3e place comme meilleur résultat obtenu sur la Motorsport Arena Oschersleben. Il change une dernière fois d'écurie et rejoint Van Amersfoort Racing en 2012. Cette saison est bien plus fructueuse que les deux précédentes puisque Binder monte sept fois sur le podium et remporte trois courses. Il marque 191 points et se classe 6e du championnat.
Difficultés en GP2 Series (2012-2015)
Grâce à ces bonnes performances, il participe en parallèle aux dernières manches du championnat de GP2 Series 2012 avec l'écurie italienne Venezuela GP Lazarus. En six courses, son meilleur résultat est une 13e place à Monza. Il ne marque donc aucun point et est 31e au classement des pilotes. Il est conservé par le Team Lazarus en 2013[1] et marque ses premiers points dès la deuxième course de la saison à Sepang. René Binder marque deux autres fois des points lors des deux courses de Monaco et termine 23e du championnat avec 11 points inscrits.
Il passe chez Arden International en 2014[2] et inscrit ses seuls points de la saison lors des deux premières courses à Bahreïn, avec une 9e et une 8e place. Il termine 25e du championnat et change de nouveau d'écurie en 2016, où il rejoint Trident Racing[3]. Il est très facilement dominé par le pilote de la Ferrari Driver AcademyRaffaele Marciello, qui inscrit 110 des 111 points de l'écurie. Binder ne marque en effet aucun point en six manches et est remercié. Il rejoint alors MP Motorsport à partir de Monza[4], où il inscrit 2 points, afin de remplacer Daniël de Jong blessé aux vertèbres. Il se classe 22e du championnat.
Binder quitte le GP2 Series et rejoint à 24 ans le championnat de Formule V8 3.5 en 2016. Il court avec l'écurie Lotus et est associé au franco-israélien Roy Nissany[5]. Il réalise un début de saison solide et monte quatre fois sur le podium en dix courses. Sa deuxième partie de saison est plus irrégulière, il connaît deux abandons et n'obtient qu'un seul autre podium à Monza. Avec 161 points, il se classe 7e du championnat, un classement qu'il n'avait pas obtenu depuis 2012.
Toujours chez Lotus en 2017, il obtient son premier podium à Spa-Francorchamps puis remporte les deux courses de Monza, ses premières victoires depuis 2012. Il se retrouve alors temporairement en tête du championnat mais ne parvient plus à monter sur le podium et chute jusqu'à la 6e place après les manches de Mexico. René Binder se rattrape à Austin en remportant sa troisième course de l'année, après avoir obtenu la pole position[7]. Il s'impose lors de la toute dernière course de la discipline à Bahreïn[8] et termine 4e du championnat, à égalité de points avec Roy Nissany mais devant au nombre de victoires. Il réapparaît brièvement en Formule 2 à Jerez avec Rapax[9] sans inscrire de point.
Courte aventure en IndyCar Series (2018)
En janvier 2018, Juncos Racing annonce que René Binder est engagé pour participer à au moins quatre courses d'IndyCar Series, sur les circuits routiers[10]. Il dispute finalement six courses et se classe 28e du championnat.