Plongement de Kuratowski

En mathématiques, le plongement de Kuratowski permet d'identifier tout espace métrique à une partie d'un espace de Banach (de façon non canonique).

Théorème de Kuratowski-Wojdysławski

Si $(X, d)$ est un espace métrique, $a$ un point de $X$ et $ℓ \infty (X)$ l'espace de Banach des applications bornées de $X$ dans ℝ, muni de la norme de la convergence uniforme, alors l'application $\Phi :X\to \ell ^{\infty }(X)$ définie par $\forall x,y\in X\quad \Phi (x)(y)=d(x,y)-d(a,y)$ est une isométrie, dont l'image est fermée dans son enveloppe convexe^[1].

Si $(X, d)$ est borné, on peut définir une telle isométrie plus simplement, en posant $Φ(x)(y) = d (x, y)$ ^[2]^,^[3].

On peut bien sûr restreindre l'ensemble d'arrivée au sous-espace vectoriel fermé de $ℓ \infty (X)$ constitué des applications bornées continues^[4].

Utilisations

Ces plongements sont utiles parce que les espaces de Banach ont certaines propriétés que ne possèdent pas tous les espaces métriques : ce sont des espaces vectoriels — ce qui permet d'ajouter des points et de pratiquer de la géométrie élémentaire sur les droites, les plans, etc. — et ils sont complets. Étant donné une application f dont l'ensemble d'arrivée est X, on peut vouloir étendre f à un ensemble de définition plus grand, ce qui nécessite souvent d'agrandir en même temps son ensemble d'arrivée, en un espace de Banach contenant X.

Histoire

Formellement, Kazimierz Kuratowski fut le premier à introduire ce plongement^[5], mais une variante très proche apparaît déjà dans des articles de Fréchet. Ces articles l’utilisent respectivement pour exhiber $ℓ \infty (X)$ comme un espace métrique séparable "universel" (il n'est pas lui-même séparable, d'où les guillemets)^[6] et pour construire une métrique générale sur ℝ comme pullback de la métrique sur une simple courbe de Jordan dans $ℓ \infty (X)$ ^[7].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kuratowski embedding » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) K. Morita et J.-I. Nagata, Topics in General Topology, Elsevier, 1989, 746 p. (ISBN 978-0-08-087988-8, lire en ligne), p. 49.
↑ (en) M. Wojdysławski, « Rétractes absolus et hyperespaces des continus », Fund. Math., vol. 32,‎ 1939, p. 184-192 (lire en ligne) (p. 186).
↑ (en) Karol Borsuk, Theory of Retracts, 1967, Theorem III.8.1.
↑ (en) Juha Heinonen, « Geometric embeddings of metric spaces », janvier 2003.
↑ Casimir Kuratowski, « Quelques problèmes concernant les espaces métriques non séparables », Fundam. Math., vol. 25,‎ 1935, p. 534-545 (lire en ligne).
↑ Maurice Fréchet, « Les dimensions d'un ensemble abstrait », Mathematische Annalen, vol. 68, n^o 2,‎ juin 1910, p. 145–168 (ISSN 0025-5831 et 1432-1807, DOI 10.1007/BF01474158, lire en ligne, consulté le 21 mars 2024)
↑ Maurice Frechet, « L'Expression la Plus Generale de la "Distance" Sur Une Droite », American Journal of Mathematics, vol. 47, n^o 1,‎ janvier 1925, p. 1 (DOI 10.2307/2370698, lire en ligne, consulté le 21 mars 2024)

Voir aussi

Liens externes

(en) Richard F. Arens et James Eells, « On embedding uniform and topological spaces », Pacific J. Math., vol. 6, n^o 3,‎ 1956, p. 397-403 (lire en ligne)
(en) James Dugundji, « An extension of Tietze's theorem », Pacific J. Math., vol. 1, n^o 3,‎ 1951, p. 353-367 (lire en ligne)
(en) Kinjirô Kunugui, « Applications des espaces à une infinité de dimensions à la théorie des ensembles », Proc. Imp. Acad., vol. 11, n^o 9,‎ 1935, p. 351-353 (DOI 10.3792/pia/1195580328)

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