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En mathématiques, plus précisément en géométrie, l'enveloppe convexe d'un ensemble de points est le plus petit ensemble convexe qui les contiennent tous.

Dans un plan, l'enveloppe convexe peut être comparée à la région délimitée par un élastique qui englobe tous les points qu'on relâche jusqu'à ce qu'il se contracte au maximum. L'idée serait la même dans l'espace avec un ballon qui se dégonflerait jusqu'à être en contact avec tous les points qui sont à la surface de l'enveloppe convexe.

On supposera être dans un contexte où la notion de sous-ensemble convexe a un sens (par exemple en géométrie affine sur les réels), et l'on notera E le cadre géométrique où l'on se place.

Cette définition a un sens, puisqu'il existe au moins une partie convexe de E qui contient A, à savoir E lui-même.

De cette définition et du fait qu'une intersection quelconque d'ensembles convexes est un ensemble convexe, on déduit la caractérisation suivante de l'enveloppe convexe.

Développé de façon plus détaillée, ce résultat caractérise l'enveloppe convexe Conv(A) comme l'unique sous-ensemble de E qui vérifie les trois conditions suivantes :

• Conv(A) est convexe ;
• A est inclus dans Conv(A) ;
• si C est un sous-ensemble convexe de E contenant A, alors Conv(A) est inclus dans C.

Par exemple, Conv(∅) = ∅.

Dans la suite de cette section, on supposera que E est un espace affine réel. On peut alors énoncer^[1] :

Autrement dit : les éléments de l'enveloppe convexe de A sont exactement les points x de E qu'on peut écrire sous la forme :

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}a_{i}}$, expression dans laquelle p est un entier, les a_i sont dans A, les coefficients λ_i sont réels positifs et de somme ${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}=1.}$

L'énoncé qui précède peut être amélioré en dimension finie, comme remarqué par Constantin Carathéodory en 1907. Si l'on note n la dimension de E, le théorème affirme qu'on peut utiliser des barycentres de p points en se bornant au cas p = n + 1 pour reconstituer toute l'enveloppe convexe. Ainsi dans un plan, étant donné A, on construit mentalement son enveloppe convexe en noircissant par la pensée tous les triangles à sommets dans A ; en dimension 3 on utiliserait des tétraèdres, et ainsi de suite.

Le théorème s'énonce précisément ainsi :

Une fois cet énoncé connu, il est facile d'en déduire un corollaire important :

(Alors que par exemple dans l'espace de Hilbert ℓ², de base hilbertienne (δ_n)_n∈ℕ, la suite (δ_n/n)_n∈ℕ et sa limite 0 forment un compact, dont l'enveloppe convexe n'est même pas fermée^[2].)

Le calcul de l'enveloppe convexe d'un ensemble de points est un problème classique en géométrie algorithmique. Plusieurs algorithmes ont été inventés pour résoudre ce problème, leur complexité varie :

• marche de Jarvis, en ${\displaystyle O(nh)}$, ${\displaystyle h}$ étant le nombre de points de l'enveloppe convexe ;
• algorithme de Chan, en ${\displaystyle O(n\log(h))}$ ;
• parcours de Graham, en ${\displaystyle O(n\log(n))}$ ;
• heuristique de Akl-Toussaint ;
• utilisation du diagramme de Voronoï^[3], en ${\displaystyle O(n\log(n))}$ : les points de l'enveloppe convexe définissent des cellules de Voronoï ouvertes, il suffit de détecter ces cellules et de relier les germes des cellules adjacentes.

Cette section ne cite pas suffisamment ses sources (septembre 2013). 

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Pour un ensemble fini de points, l'enveloppe convexe est un polyèdre convexe. Cependant, sa représentation n'est pas aussi facile que dans le cas du plan. Pour les dimensions strictement supérieures à 2, même si les arêtes du polyèdre sont connues, la construction des facettes n'est pas une tâche triviale. Un certain nombre d'algorithmes sont quand même connus pour la dimension 3, mais aussi dans le cas général.^{[réf. nécessaire]}

• Enveloppe convexe fermée
• Problème du cercle minimum
• Surface de sustentation
• Théorème de Krein-Milman
• Théorème de Tverberg

(en) Convex Hull Algorithms, Applet Java en 3D

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