Opérations sur les dérivées

En mathématiques, le calcul de la dérivée de certaines fonctions à valeurs réelles ou complexes (ou plus généralement dans un corps topologique) peut être effectué en utilisant un certain nombre d'opérations sur les dérivées, notamment certaines liées aux opérations sur les nombres réels et complexes. Les démonstrations de ces propriétés découlent des opérations sur les limites.

Dans tout l'article, on note $f$ et $g$ deux fonctions qu'on suppose dérivables.

Linéarité

La dérivation est un opérateur linéaire, c'est-à-dire que l'espace des fonctions dérivables est stable par somme et par multiplication de ses éléments par des réels (c'est un espace vectoriel réel), et les relations suivantes sont vérifiées :

{\bigl (}\alpha f{\bigr )}'=\alpha f'

{\bigl (}f+g{\bigr )}'=f'+g'

On en déduit en particulier :

{\bigl (}f-g{\bigr )}'=f'-g'

Composition

La composée de deux fonctions dérivables est dérivable, là où elle est définie (précisément sur l'image réciproque par $f$ du domaine de définition de $g$ ) et se calcule suivant la règle :

(g\circ f)'=(g'\circ f)\cdot f'

Un exemple d'application est la règle de dérivation des puissances :

\left(f^{\alpha }\right)'=\alpha f^{\alpha -1}f',

en utilisant le calcul élémentaire de la dérivée de la fonction $x\mapsto x^{\alpha }$ (cette règle est donc valide sans restriction si $\alpha$ est un entier positif, mais si $\alpha$ est un entier négatif on se place sur un intervalle où $f$ ne s'annule pas, et si $\alpha$ est un réel non entier, sur un intervalle où $f$ est à valeurs strictement positives).

Un autre exemple d'application est la règle de dérivation des exponentielles :

\left(e^{f}\right)'=e^{f}.f'

Appliquée à $f(x)=x\ln(a)\,$ (où a est un réel fixé, strictement positif), cette règle donne : $(a^{x})'=a^{x}\ln(a)\,$ .

Plus généralement, appliquée à $f(x)=u(x)\ln(a)\,$ , (où a>0, et u est une application dérivable) : $(a^{u(x)})'=a^{u(x)}u'(x)\ln(a)\,$ .

Produit, inverse et quotient

La dérivation est un opérateur différentiel, c'est-à-dire que l'espace des fonctions dérivables est stable par multiplication, et la règle de Leibniz est vérifiée :

{\bigl (}fg{\bigr )}'=f'g+fg'

Une démonstration est proposée dans Dérivée et opérations sur Wikiversité.

Cette relation permet par exemple de retrouver (par récurrence) la règle de dérivation des puissances (vue plus haut), dans le cas particulier $\alpha =n$ entier positif :

{\bigl (}f^{n}{\bigr )}'=nf^{n-1}f'

Un autre cas particulier de cette même règle (pour $\alpha =-1$ , donc sur un intervalle où $g$ ne s'annule pas) est la règle de dérivation de l'inverse :

\left({\dfrac {1}{g}}\right)'={\dfrac {-g'}{g^{2}}}

Cette dernière, combinée à la règle de dérivation du produit, donne la dérivée d'un quotient :

\left({\dfrac {f}{g}}\right)'={\dfrac {f'g-fg'}{g^{2}}}

Bijection réciproque

Soit $f:I\to \mathbb {R}$ une fonction dérivable sur un intervalle réel $I$ et strictement monotone ( $f$ réalise alors une bijection de $I$ sur l'intervalle $f(I)$ ).
Pour tout point $a$ de $I$ en lequel $f'$ ne s'annule pas, la bijection réciproque $f^{-1}$ est dérivable en $b:=f(a)$ et :
$(f^{-1})'(b)={\frac {1}{f'(a)}}$ .

Par conséquent, si $f'$ ne s'annule pas sur $I$ , alors $f^{-1}$ est dérivable sur $f(I)$ et

\left(f^{-1}\right)'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}

Une démonstration est proposée dans Dérivée et opérations sur Wikiversité.

v · m Mathématiques élémentaires
Domaines des mathématiques	Algèbre classique Arithmétique élémentaire Analyse Analyse réelle Suites numériques Géométrie classique Logique Probabilités Statistiques Symboles
Algèbre classique	Addition Multiplication Division Ordre des opérations Table d'addition Table de multiplication Associativité Commutativité Distributivité Transitivité Proportionnalité Pourcentage Règle de trois Fraction Équation du premier degré Équation du second degré Système d'équations linéaires
Géométrie classique	Coordonnées cartésiennes Géométrie du triangle Homothétie Quadrilatère Repère affine Rotation plane Similitude Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Thalès (cercle) Théorème des milieux Théorème d'Al-Kashi Translation
Arithmétique	Multiple Diviseur Division euclidienne Nombre premier Congruence sur les entiers PGCD de nombres entiers Plus petit commun multiple Critère de divisibilité Preuve par neuf
Suites et fonctions	Fonction de référence Fonction affine Fonction du second degré Fonction puissance Fonction trigonométrique Fonction logarithme Fonction exponentielle Suite arithmétique Suite géométrique Limite Dérivation Opérations sur les limites Dérivées usuelles Opérations sur les dérivées Liste de fonctions numériques Fonction élémentaire
Logique	Axiome Démonstration Contre-exemple Difficulté mathématique
Statistiques et probabilités	Critères de position Critères de dispersion Série statistique à deux variables Arbre de probabilité Variables aléatoires élémentaires

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