Nombre 4-polytopique centré
En arithmétique géométrique , un nombre 4-polytopique centré , ou nombre 4-hyperpolyédrique centré, ou encore nombre polychorique centré, est un nombre figuré comptant des points disposés dans un 4-polytope , ou polychore , par couches successives autour du centre.
Cas des 4-polytopes réguliers
Si l'on note
P
n
{\displaystyle P_{n}}
le nombre de points à l'étape
n
{\displaystyle n}
, où il y a
n
{\displaystyle n}
points dans chaque arête extérieure du polytope, on a les formules :
Nombre 4-polytopique
P
n
+
1
− − -->
P
n
{\displaystyle P_{n+1}-P_{n}}
P
n
{\displaystyle P_{n}}
P
1
,
⋯ ⋯ -->
,
P
10
{\displaystyle P_{1},\cdots ,P_{10}}
Rang OEIS
Nombre pentachorique centré ou 4-hypertétraédrique centré
5
6
n
(
n
2
+
5
)
{\displaystyle {\frac {5}{6}}n(n^{2}+5)}
5
n
4
− − -->
10
n
3
+
55
n
2
− − -->
50
n
+
24
24
{\displaystyle {\frac {5n^{4}-10n^{3}+55n^{2}-50n+24}{24}}}
=
(
n
+
4
5
)
− − -->
(
n
− − -->
1
5
)
{\displaystyle ={\binom {n+4}{5}}-{\binom {n-1}{5}}}
1, 6, 21, 56, 126, 251, 456, 771, 1231, 1876
suite A000332 de l'OEIS
Nombre octachorique centré ou 4-hypercubique centré
8
n
(
n
2
+
1
)
{\displaystyle 8n(n^{2}+1)}
=
(
n
+
1
)
4
− − -->
(
n
− − -->
1
)
4
{\displaystyle =(n+1)^{4}-(n-1)^{4}}
n
4
+
(
n
− − -->
1
)
4
{\displaystyle n^{4}+(n-1)^{4}}
1, 17, 97, 337, 881, 1921, 3697, 6497, 10657, 16561
suite A008514 de l'OEIS
Nombre hexadécachorique centré ou 4-hyperoctaédrique centré
8
3
n
(
n
2
+
2
)
{\displaystyle {\frac {8}{3}}n(n^{2}+2)}
2
n
4
− − -->
4
n
3
+
10
n
2
− − -->
8
n
+
3
3
{\displaystyle {\frac {2n^{4}-4n^{3}+10n^{2}-8n+3}{3}}}
1, 9, 41, 129, 321, 681, 1289, 2241, 3649, 5641
suite A001846 de l'OEIS
Nombre icositétrachorique centré ou polyoctaédrique centré
8
n
(
2
n
2
+
1
)
{\displaystyle 8n(2n^{2}+1)}
(
n
2
+
(
n
− − -->
1
)
2
)
2
{\displaystyle \left(n^{2}+(n-1)^{2}\right)^{2}}
1, 25, 169, 625, 1681, 3721, 7225, 12769, 21025, 32761
suite A092181 de l'OEIS
Nombre hecatonicosachorique ou hyperdodécaédrique centré
60
n
(
9
n
2
+
1
)
{\displaystyle 60n(9n^{2}+1)}
135
n
4
− − -->
270
n
3
+
165
n
2
− − -->
30
n
+
1
{\displaystyle 135n^{4}-270n^{3}+165n^{2}-30n+1}
1, 601, 5041, 19801, 54601, 122401, 239401, 425041, 702001, 1096201
Nombre hexacosichorique ou hypericosaédrique centré
20
n
(
5
n
2
+
1
)
{\displaystyle 20n(5n^{2}+1)}
(
5
n
2
− − -->
5
n
+
1
)
2
{\displaystyle (5n^{2}-5n+1)^{2}}
1, 121, 961, 3721, 10201, 22801, 44521, 78961, 130321, 203401
Notons que
P
1
{\displaystyle P_{1}}
est le nombre de sommets du polytope correspondant, plus une unité.
On considère un 4-polytope régulier à
S
{\displaystyle S}
sommets,
A
{\displaystyle A}
arêtes,
F
{\displaystyle F}
faces et
C
{\displaystyle C}
cellules : Supposons que la figure de l'étape
n
− − -->
1
{\displaystyle n-1}
soit construite ; on obtient la figure de l'étape
n
{\displaystyle n}
en ajoutant[ 1] , [ 2] :
S
{\displaystyle S}
nouveaux points situés aux
S
{\displaystyle S}
nouveaux sommets,
(
n
− − -->
2
)
A
{\displaystyle (n-2)A}
nouveaux points situés à l'intérieur des
A
{\displaystyle A}
nouvelles arêtes,
(
P
k
,
n
− − -->
k
(
n
− − -->
1
)
)
F
{\displaystyle (P_{k,n}-k(n-1))F}
nouveaux points situés à l'intérieur des
F
{\displaystyle F}
nouvelles faces k -gonales,
P
k
,
n
{\displaystyle P_{k,n}}
étant le nombre k -gonal d'ordre
n
{\displaystyle n}
,
C
× × -->
Q
n
{\displaystyle C\times Q_{n}}
nouveaux points situés à l'intérieur des
C
{\displaystyle C}
nouvelles cellules,
Q
n
{\displaystyle Q_{n}}
étant le nombre polyédrique d'ordre
n
{\displaystyle n}
associé au cellules, auquel on retranche le nombre de points situés sur sa frontière.
Si l'on note
P
n
{\displaystyle P_{n}}
le nombre de points à l'étape
n
{\displaystyle n}
, on a donc
P
n
− − -->
P
n
− − -->
1
=
(
S
− − -->
1
)
+
A
(
n
− − -->
2
)
+
F
(
P
k
,
n
− − -->
k
(
n
− − -->
1
)
)
+
C
× × -->
Q
n
{\displaystyle P_{n}-P_{n-1}=(S-1)+A(n-2)+F(P_{k,n}-k(n-1))+C\times Q_{n}}
.
Partant de
P
0
=
0
{\displaystyle P_{0}=0}
, on obtient donc
P
n
{\displaystyle P_{n}}
en écrivant
P
n
=
1
+
∑ ∑ -->
k
=
1
n
(
P
k
− − -->
P
k
− − -->
1
)
{\displaystyle P_{n}=1+\sum _{k=1}^{n}(P_{k}-P_{k-1})}
.
Exemple pour le 4-hypercube
Pour le 4-hypercube,
S
=
16
,
A
=
32
,
F
=
24
,
C
=
8
{\displaystyle S=16,A=32,F=24,C=8}
;
k
=
4
{\displaystyle k=4}
et
P
4
,
n
=
n
2
{\displaystyle P_{4,n}=n^{2}}
; enfin
Q
n
=
n
3
− − -->
8
− − -->
12
(
n
− − -->
2
)
− − -->
6
(
n
2
− − -->
4
(
n
− − -->
1
)
)
{\displaystyle Q_{n}=n^{3}-8-12(n-2)-6(n^{2}-4(n-1))}
.
On obtient
P
n
− − -->
P
n
− − -->
1
=
8
n
3
− − -->
24
n
2
+
32
n
− − -->
16
=
n
4
− − -->
(
n
− − -->
2
)
4
{\displaystyle P_{n}-P_{n-1}=8n^{3}-24n^{2}+32n-16=n^{4}-(n-2)^{4}}
, ce qui donne bien
P
n
=
n
4
+
(
n
− − -->
1
)
4
{\displaystyle P_{n}=n^{4}+(n-1)^{4}}
.
Références
↑ (en) Elena Deza et Michel Deza , Figurate Numbers , Singapour, World Scientific Publishing , 2012 , 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3 , lire en ligne ) , p. 219-232
↑ (en) Hyun Kwang Kim, « On Regular Polytope Numbers », PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY , vol. 131, no 1, 2002 , p. 68 (lire en ligne )
Voir aussi
Bidimensionnel
Tridimensionnel
Quadridimensionnel
Multidimensionnel