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Un module d'élasticité (ou module élastique ou module de conservation) est une grandeur intrinsèque d'un matériau, définie par le rapport d'une contrainte à la déformation élastique provoquée par cette contrainte. Les déformations étant sans dimension, les modules d'élasticité sont homogènes à une pression et leur unité SI est donc le pascal ; en pratique on utilise plutôt un multiple, le MPa ou le GPa. On utilise également le giganewton par mètre carré (GN/m²) et dans le système d'unités impériales, le ksi[1].
Le comportement élastique d'un matériau homogène isotrope et linéaire est caractérisé par deux modules (ou constantes) d'élasticité indépendants. Le tableau nommé « Formules de conversion » en bas de page indique les relations des paires de modules d'élasticité, sur un total de six modules : E, G, K, M, ν[2] et λ. L'utilisation des relations données dans ce tableau nécessite cependant des corrections qui sont données dans la littérature[3].
En ingénierie structurelle, le choix le plus courant est la paire module de Young et coefficient de Poisson (E, ν) ; la paire équivalente (E, G) est aussi utilisée. Le module E (lié à la raideur) est souvent utilisé en acoustique.
La connaissance des caractéristiques rhéologiques en fonction de la température revêt un grand intérêt. Les évolutions de modules ou de viscosités sont souvent importantes. Voir aussi Température de transition vitreuse (Tv) et Thermostabilité.
Selon le type de déformation[4], le module d'élasticité d'un matériau peut être :
Divers types de modules d'élasticité correspondant aux différents types de déformation (exemples) :
En général, pour un matériau viscoélastique, il n'existe pas de relation contrainte ↔ ↔ --> {\displaystyle \leftrightarrow } déformation (équation rhéologique) indépendante du temps (t), c'est le cas notamment du rapport contrainte sur déformation. Le rapport contrainte dynamique σ σ --> ( t ) {\displaystyle \sigma (t)} sur déformation dynamique ε ε --> ( t ) {\displaystyle \varepsilon (t)} d'un matériau viscoélastique soumis à une vibration sinusoïdale est appelé module complexe ou module dynamique ou module viscoélastique, noté M*[7]
avec :
Les contraintes élastiques et visqueuses sont liées aux propriétés du matériau par le module.
Le schéma ci-dessus représente diverses propriétés mécaniques dynamiques dans le plan complexe, dans une expérience utilisant des déformations sinusoïdales ; δ δ --> {\displaystyle \delta } est l'angle de phase entre la contrainte et la déformation.
Un matériau est considéré comme viscoélastique linéairement si, lorsqu'il est faiblement déformé, le rapport contrainte sur déformation (ou module) n'est fonction que de la fréquence (ou du temps) et de la température (T). À partir d'un niveau de déformation critique, le comportement de l'échantillon est non linéaire.
Un module viscoélastique est déterminé en DMA à partir de la géométrie et de la raideur dynamique de l'échantillon. Par exemple, les modules viscoélastiques E' et E'' d'un solide déformable peuvent être mesurés en DMA en soumettant l'échantillon à une contrainte de traction-compression ou de flexion. Les modules viscoélastiques G' et G'' d'un produit solide, d'un (polymère) fondu, d'une résine, d'un bitume, etc., peuvent être mesurés en DMA ou au moyen d'un rhéomètre dynamique (hors échantillon solide dans ce dernier cas) ; la caractérisation se fait en torsion (sur un solide) ou en cisaillement.
La viscosité dynamique η' est proportionnelle à G''.
formules en 3D
( λ λ --> , G ) {\displaystyle (\lambda ,G)}
( E , G ) {\displaystyle (E,G)}
( K , λ λ --> ) {\displaystyle (K,\lambda )}
( K , G ) {\displaystyle (K,G)}
( λ λ --> , ν ν --> ) {\displaystyle (\lambda ,\nu )}
( G , ν ν --> ) {\displaystyle (G,\nu )}
( E , ν ν --> ) {\displaystyle (E,\nu )}
( K , ν ν --> ) {\displaystyle (K,\nu )}
( K , E ) {\displaystyle (K,E)}
( M , G ) {\displaystyle (M,G)}
K [ P a ] = {\displaystyle K\,[\mathrm {Pa} ]=}
λ λ --> + 2 G 3 {\displaystyle \lambda +{\tfrac {2G}{3}}}
E G 3 ( 3 G − − --> E ) {\displaystyle {\tfrac {EG}{3(3G-E)}}}
λ λ --> ( 1 + ν ν --> ) 3 ν ν --> {\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}}
2 G ( 1 + ν ν --> ) 3 ( 1 − − --> 2 ν ν --> ) {\displaystyle {\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}}
E 3 ( 1 − − --> 2 ν ν --> ) {\displaystyle {\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}}
M − − --> 4 G 3 {\displaystyle M-{\tfrac {4G}{3}}}
E [ P a ] = {\displaystyle E\,[\mathrm {Pa} ]=}
G ( 3 λ λ --> + 2 G ) λ λ --> + G {\displaystyle {\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}}
9 K ( K − − --> λ λ --> ) 3 K − − --> λ λ --> {\displaystyle {\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}}
9 K G 3 K + G {\displaystyle {\tfrac {9KG}{3K+G}}}
λ λ --> ( 1 + ν ν --> ) ( 1 − − --> 2 ν ν --> ) ν ν --> {\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}}
2 G ( 1 + ν ν --> ) {\displaystyle 2G(1+\nu )\,}
3 K ( 1 − − --> 2 ν ν --> ) {\displaystyle 3K(1-2\nu )\,}
G ( 3 M − − --> 4 G ) M − − --> G {\displaystyle {\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}}
λ λ --> [ P a ] = {\displaystyle \lambda \,[\mathrm {Pa} ]=}
G ( E − − --> 2 G ) 3 G − − --> E {\displaystyle {\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}}
K − − --> 2 G 3 {\displaystyle K-{\tfrac {2G}{3}}}
2 G ν ν --> 1 − − --> 2 ν ν --> {\displaystyle {\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}}
E ν ν --> ( 1 + ν ν --> ) ( 1 − − --> 2 ν ν --> ) {\displaystyle {\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}}
3 K ν ν --> 1 + ν ν --> {\displaystyle {\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}}
3 K ( 3 K − − --> E ) 9 K − − --> E {\displaystyle {\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}}
M − − --> 2 G {\displaystyle M-2G}
G [ P a ] = {\displaystyle G\,[\mathrm {Pa} ]=}
3 ( K − − --> λ λ --> ) 2 {\displaystyle {\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}}
λ λ --> ( 1 − − --> 2 ν ν --> ) 2 ν ν --> {\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}}
E 2 ( 1 + ν ν --> ) {\displaystyle {\tfrac {E}{2(1+\nu )}}}
3 K ( 1 − − --> 2 ν ν --> ) 2 ( 1 + ν ν --> ) {\displaystyle {\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}}
3 K E 9 K − − --> E {\displaystyle {\tfrac {3KE}{9K-E}}}
ν ν --> [ 1 ] = {\displaystyle \nu \,[1]=}
λ λ --> 2 ( λ λ --> + G ) {\displaystyle {\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}}
E 2 G − − --> 1 {\displaystyle {\tfrac {E}{2G}}-1}
λ λ --> 3 K − − --> λ λ --> {\displaystyle {\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}}
3 K − − --> 2 G 2 ( 3 K + G ) {\displaystyle {\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}}
3 K − − --> E 6 K {\displaystyle {\tfrac {3K-E}{6K}}}
M − − --> 2 G 2 M − − --> 2 G {\displaystyle {\tfrac {M-2G}{2M-2G}}}
M [ P a ] = {\displaystyle M\,[\mathrm {Pa} ]=}
λ λ --> + 2 G {\displaystyle \lambda +2G}
G ( 4 G − − --> E ) 3 G − − --> E {\displaystyle {\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}}
3 K − − --> 2 λ λ --> {\displaystyle 3K-2\lambda \,}
K + 4 G 3 {\displaystyle K+{\tfrac {4G}{3}}}
λ λ --> ( 1 − − --> ν ν --> ) ν ν --> {\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}}
2 G ( 1 − − --> ν ν --> ) 1 − − --> 2 ν ν --> {\displaystyle {\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}}
E ( 1 − − --> ν ν --> ) ( 1 + ν ν --> ) ( 1 − − --> 2 ν ν --> ) {\displaystyle {\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}}
3 K ( 1 − − --> ν ν --> ) 1 + ν ν --> {\displaystyle {\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}}
3 K ( 3 K + E ) 9 K − − --> E {\displaystyle {\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}}
formules en 2D
( λ λ --> 2 D , G 2 D ) {\displaystyle (\lambda _{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })}
( E 2 D , G 2 D ) {\displaystyle (E_{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })}
( K 2 D , λ λ --> 2 D ) {\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\lambda _{\mathrm {2D} })}
( K 2 D , G 2 D ) {\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })}
( λ λ --> 2 D , ν ν --> 2 D ) {\displaystyle (\lambda _{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })}
( G 2 D , ν ν --> 2 D ) {\displaystyle (G_{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })}
( E 2 D , ν ν --> 2 D ) {\displaystyle (E_{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })}
( K 2 D , ν ν --> 2 D ) {\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })}
( K 2 D , E 2 D ) {\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },E_{\mathrm {2D} })}
( M 2 D , G 2 D ) {\displaystyle (M_{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })}
K 2 D [ N / m ] = {\displaystyle K_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}
λ λ --> 2 D + G 2 D {\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}
G 2 D E 2 D 4 G 2 D − − --> E 2 D {\displaystyle {\tfrac {G_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}
λ λ --> 2 D ( 1 + ν ν --> 2 D ) 2 ν ν --> 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}}
G 2 D ( 1 + ν ν --> 2 D ) 1 − − --> ν ν --> 2 D {\displaystyle {\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}}
E 2 D 2 ( 1 − − --> ν ν --> 2 D ) {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}}
M 2 D − − --> G 2 D {\displaystyle M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}
E 2 D [ N / m ] = {\displaystyle E_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}
4 G 2 D ( λ λ --> 2 D + G 2 D ) λ λ --> 2 D + 2 G 2 D {\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}}
4 K 2 D ( K 2 D − − --> λ λ --> 2 D ) 2 K 2 D − − --> λ λ --> 2 D {\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}}
4 K 2 D G 2 D K 2 D + G 2 D {\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}}
λ λ --> 2 D ( 1 + ν ν --> 2 D ) ( 1 − − --> ν ν --> 2 D ) ν ν --> 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}}
2 G 2 D ( 1 + ν ν --> 2 D ) {\displaystyle 2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,}
2 K 2 D ( 1 − − --> ν ν --> 2 D ) {\displaystyle 2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}
4 G 2 D ( M 2 D − − --> G 2 D ) M 2 D {\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}}
λ λ --> 2 D [ N / m ] = {\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}
2 G 2 D ( E 2 D − − --> 2 G 2 D ) 4 G 2 D − − --> E 2 D {\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}
K 2 D − − --> G 2 D {\displaystyle K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}
2 G 2 D ν ν --> 2 D 1 − − --> ν ν --> 2 D {\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}}
E 2 D ν ν --> 2 D ( 1 + ν ν --> 2 D ) ( 1 − − --> ν ν --> 2 D ) {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}}
2 K 2 D ν ν --> 2 D 1 + ν ν --> 2 D {\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}}
2 K 2 D ( 2 K 2 D − − --> E 2 D ) 4 K 2 D − − --> E 2 D {\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}
M 2 D − − --> 2 G 2 D {\displaystyle M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}
G 2 D [ N / m ] = {\displaystyle G_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}
K 2 D − − --> λ λ --> 2 D {\displaystyle K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}
λ λ --> 2 D ( 1 − − --> ν ν --> 2 D ) 2 ν ν --> 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}}
E 2 D 2 ( 1 + ν ν --> 2 D ) {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}}
K 2 D ( 1 − − --> ν ν --> 2 D ) 1 + ν ν --> 2 D {\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}}
K 2 D E 2 D 4 K 2 D − − --> E 2 D {\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}
ν ν --> 2 D [ 1 ] = {\displaystyle \nu _{\mathrm {2D} }\,[1]=}
λ λ --> 2 D λ λ --> 2 D + 2 G 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}}
E 2 D 2 G 2 D − − --> 1 {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1}
λ λ --> 2 D 2 K 2 D − − --> λ λ --> 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}}
K 2 D − − --> G 2 D K 2 D + G 2 D {\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}}
2 K 2 D − − --> E 2 D 2 K 2 D {\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}}
M 2 D − − --> 2 G 2 D M 2 D {\displaystyle {\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}}
M 2 D [ N / m ] = {\displaystyle M_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}
λ λ --> 2 D + 2 G 2 D {\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}
4 G 2 D 2 4 G 2 D − − --> E 2 D {\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}
2 K 2 D − − --> λ λ --> 2 D {\displaystyle 2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}
K 2 D + G 2 D {\displaystyle K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}
λ λ --> 2 D ν ν --> 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}}
2 G 2 D 1 − − --> ν ν --> 2 D {\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}}
E 2 D ( 1 − − --> ν ν --> 2 D ) ( 1 + ν ν --> 2 D ) {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1-\nu _{\mathrm {2D} })(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}}
2 K 2 D 1 + ν ν --> 2 D {\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}}
4 K 2 D 2 4 K 2 D − − --> E 2 D {\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}
![{\displaystyle K\,[\mathrm {Pa} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b3ab31b3a3865235dccbc488812ff4f37eebbab)
![{\displaystyle E\,[\mathrm {Pa} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/750cbb7f7d67f888ecb19e183ac4d7410006ef9b)
![{\displaystyle \lambda \,[\mathrm {Pa} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feb97a3834f075f32114f08046be6251bd037800)
![{\displaystyle G\,[\mathrm {Pa} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2326ec29a9bfa73a5703f0571334e02c57bdd833)
![{\displaystyle \nu \,[1]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31963444a16a4993d1f3289b9a5e86d2a224934)
![{\displaystyle M\,[\mathrm {Pa} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49c2ea87a079fbcc6987591a1669001a144e61ed)
![{\displaystyle K_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e5562fda79e2283d607f220ec8aab1a0fc9ee74)
![{\displaystyle E_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4026a07ee80c1281e875b1bbed75cd5687a2b13)
![{\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19e94c73fca89904175ad30491fc448f274b8f2c)
![{\displaystyle G_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aefa2eb44d967723c47e26dd09918f1850d553f)
![{\displaystyle \nu _{\mathrm {2D} }\,[1]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c5fcb0958432c6617c834d1e36885be1790ac09)
![{\displaystyle M_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3a0381f833f359a1b0c12a557d1c4455a05d0b7)
