Cet article concernant la physique doit être recyclé (avril 2018).
Une réorganisation et une clarification du contenu paraissent nécessaires. Améliorez-le, discutez des points à améliorer ou précisez les sections à recycler en utilisant {{section à recycler}}.
modifier - modifier le code - modifier Wikidata
La rhéologie est une partie de la physique qui étudie la plasticité, l'élasticité, la viscosité et la fluidité caractéristiques des corps déformables. Du grec reo (couler) et logos (étude).
Cet article concerne la rhéologie des solides, c'est-à-dire leur déformation, leur écoulement.
Lire l'article déformation élastique en guise d'introduction.
En physique, l'effort exercé sur une pièce est représenté par la force F {\displaystyle F} , exprimée en newtons (N). La variation dimensionnelle est une longueur, exprimée en mètres.
Cependant, ceci dépend de la forme de la pièce. Si l'on s'intéresse aux propriétés du matériau, il faut s'abstraire des dimensions de la pièce. On caractérise donc l'effort par la contrainte et la variation dimensionnelle par la déformation.
On retrouve alors l'expression de la déformation conventionnelle (voir Courbe conventionnelle/rationnelle).
Lors de son utilisation, une pièce peut se déformer de manière complexe. Pour permettre l'étude, on considère des déformations modèles simples.
Ces déformations simples permettent de définir des caractéristiques chiffrées du matériau.
On a donc quatre coefficients E {\displaystyle E} , G {\displaystyle G} , K {\displaystyle K} et ν ν --> {\displaystyle \nu } , et deux relations. On peut alors écrire :
formules en 3D
( λ λ --> , G ) {\displaystyle (\lambda ,G)}
( E , G ) {\displaystyle (E,G)}
( K , λ λ --> ) {\displaystyle (K,\lambda )}
( K , G ) {\displaystyle (K,G)}
( λ λ --> , ν ν --> ) {\displaystyle (\lambda ,\nu )}
( G , ν ν --> ) {\displaystyle (G,\nu )}
( E , ν ν --> ) {\displaystyle (E,\nu )}
( K , ν ν --> ) {\displaystyle (K,\nu )}
( K , E ) {\displaystyle (K,E)}
( M , G ) {\displaystyle (M,G)}
K [ P a ] = {\displaystyle K\,[\mathrm {Pa} ]=}
λ λ --> + 2 G 3 {\displaystyle \lambda +{\tfrac {2G}{3}}}
E G 3 ( 3 G − − --> E ) {\displaystyle {\tfrac {EG}{3(3G-E)}}}
λ λ --> ( 1 + ν ν --> ) 3 ν ν --> {\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}}
2 G ( 1 + ν ν --> ) 3 ( 1 − − --> 2 ν ν --> ) {\displaystyle {\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}}
E 3 ( 1 − − --> 2 ν ν --> ) {\displaystyle {\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}}
M − − --> 4 G 3 {\displaystyle M-{\tfrac {4G}{3}}}
E [ P a ] = {\displaystyle E\,[\mathrm {Pa} ]=}
G ( 3 λ λ --> + 2 G ) λ λ --> + G {\displaystyle {\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}}
9 K ( K − − --> λ λ --> ) 3 K − − --> λ λ --> {\displaystyle {\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}}
9 K G 3 K + G {\displaystyle {\tfrac {9KG}{3K+G}}}
λ λ --> ( 1 + ν ν --> ) ( 1 − − --> 2 ν ν --> ) ν ν --> {\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}}
2 G ( 1 + ν ν --> ) {\displaystyle 2G(1+\nu )\,}
3 K ( 1 − − --> 2 ν ν --> ) {\displaystyle 3K(1-2\nu )\,}
G ( 3 M − − --> 4 G ) M − − --> G {\displaystyle {\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}}
λ λ --> [ P a ] = {\displaystyle \lambda \,[\mathrm {Pa} ]=}
G ( E − − --> 2 G ) 3 G − − --> E {\displaystyle {\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}}
K − − --> 2 G 3 {\displaystyle K-{\tfrac {2G}{3}}}
2 G ν ν --> 1 − − --> 2 ν ν --> {\displaystyle {\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}}
E ν ν --> ( 1 + ν ν --> ) ( 1 − − --> 2 ν ν --> ) {\displaystyle {\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}}
3 K ν ν --> 1 + ν ν --> {\displaystyle {\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}}
3 K ( 3 K − − --> E ) 9 K − − --> E {\displaystyle {\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}}
M − − --> 2 G {\displaystyle M-2G}
G [ P a ] = {\displaystyle G\,[\mathrm {Pa} ]=}
3 ( K − − --> λ λ --> ) 2 {\displaystyle {\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}}
λ λ --> ( 1 − − --> 2 ν ν --> ) 2 ν ν --> {\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}}
E 2 ( 1 + ν ν --> ) {\displaystyle {\tfrac {E}{2(1+\nu )}}}
3 K ( 1 − − --> 2 ν ν --> ) 2 ( 1 + ν ν --> ) {\displaystyle {\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}}
3 K E 9 K − − --> E {\displaystyle {\tfrac {3KE}{9K-E}}}
ν ν --> [ 1 ] = {\displaystyle \nu \,[1]=}
λ λ --> 2 ( λ λ --> + G ) {\displaystyle {\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}}
E 2 G − − --> 1 {\displaystyle {\tfrac {E}{2G}}-1}
λ λ --> 3 K − − --> λ λ --> {\displaystyle {\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}}
3 K − − --> 2 G 2 ( 3 K + G ) {\displaystyle {\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}}
3 K − − --> E 6 K {\displaystyle {\tfrac {3K-E}{6K}}}
M − − --> 2 G 2 M − − --> 2 G {\displaystyle {\tfrac {M-2G}{2M-2G}}}
M [ P a ] = {\displaystyle M\,[\mathrm {Pa} ]=}
λ λ --> + 2 G {\displaystyle \lambda +2G}
G ( 4 G − − --> E ) 3 G − − --> E {\displaystyle {\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}}
3 K − − --> 2 λ λ --> {\displaystyle 3K-2\lambda \,}
K + 4 G 3 {\displaystyle K+{\tfrac {4G}{3}}}
λ λ --> ( 1 − − --> ν ν --> ) ν ν --> {\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}}
2 G ( 1 − − --> ν ν --> ) 1 − − --> 2 ν ν --> {\displaystyle {\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}}
E ( 1 − − --> ν ν --> ) ( 1 + ν ν --> ) ( 1 − − --> 2 ν ν --> ) {\displaystyle {\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}}
3 K ( 1 − − --> ν ν --> ) 1 + ν ν --> {\displaystyle {\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}}
3 K ( 3 K + E ) 9 K − − --> E {\displaystyle {\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}}
formules en 2D
( λ λ --> 2 D , G 2 D ) {\displaystyle (\lambda _{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })}
( E 2 D , G 2 D ) {\displaystyle (E_{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })}
( K 2 D , λ λ --> 2 D ) {\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\lambda _{\mathrm {2D} })}
( K 2 D , G 2 D ) {\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })}
( λ λ --> 2 D , ν ν --> 2 D ) {\displaystyle (\lambda _{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })}
( G 2 D , ν ν --> 2 D ) {\displaystyle (G_{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })}
( E 2 D , ν ν --> 2 D ) {\displaystyle (E_{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })}
( K 2 D , ν ν --> 2 D ) {\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })}
( K 2 D , E 2 D ) {\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },E_{\mathrm {2D} })}
( M 2 D , G 2 D ) {\displaystyle (M_{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })}
K 2 D [ N / m ] = {\displaystyle K_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}
λ λ --> 2 D + G 2 D {\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}
G 2 D E 2 D 4 G 2 D − − --> E 2 D {\displaystyle {\tfrac {G_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}
λ λ --> 2 D ( 1 + ν ν --> 2 D ) 2 ν ν --> 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}}
G 2 D ( 1 + ν ν --> 2 D ) 1 − − --> ν ν --> 2 D {\displaystyle {\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}}
E 2 D 2 ( 1 − − --> ν ν --> 2 D ) {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}}
M 2 D − − --> G 2 D {\displaystyle M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}
E 2 D [ N / m ] = {\displaystyle E_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}
4 G 2 D ( λ λ --> 2 D + G 2 D ) λ λ --> 2 D + 2 G 2 D {\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}}
4 K 2 D ( K 2 D − − --> λ λ --> 2 D ) 2 K 2 D − − --> λ λ --> 2 D {\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}}
4 K 2 D G 2 D K 2 D + G 2 D {\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}}
λ λ --> 2 D ( 1 + ν ν --> 2 D ) ( 1 − − --> ν ν --> 2 D ) ν ν --> 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}}
2 G 2 D ( 1 + ν ν --> 2 D ) {\displaystyle 2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,}
2 K 2 D ( 1 − − --> ν ν --> 2 D ) {\displaystyle 2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}
4 G 2 D ( M 2 D − − --> G 2 D ) M 2 D {\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}}
λ λ --> 2 D [ N / m ] = {\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}
2 G 2 D ( E 2 D − − --> 2 G 2 D ) 4 G 2 D − − --> E 2 D {\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}
K 2 D − − --> G 2 D {\displaystyle K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}
2 G 2 D ν ν --> 2 D 1 − − --> ν ν --> 2 D {\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}}
E 2 D ν ν --> 2 D ( 1 + ν ν --> 2 D ) ( 1 − − --> ν ν --> 2 D ) {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}}
2 K 2 D ν ν --> 2 D 1 + ν ν --> 2 D {\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}}
2 K 2 D ( 2 K 2 D − − --> E 2 D ) 4 K 2 D − − --> E 2 D {\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}
M 2 D − − --> 2 G 2 D {\displaystyle M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}
G 2 D [ N / m ] = {\displaystyle G_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}
K 2 D − − --> λ λ --> 2 D {\displaystyle K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}
λ λ --> 2 D ( 1 − − --> ν ν --> 2 D ) 2 ν ν --> 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}}
E 2 D 2 ( 1 + ν ν --> 2 D ) {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}}
K 2 D ( 1 − − --> ν ν --> 2 D ) 1 + ν ν --> 2 D {\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}}
K 2 D E 2 D 4 K 2 D − − --> E 2 D {\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}
ν ν --> 2 D [ 1 ] = {\displaystyle \nu _{\mathrm {2D} }\,[1]=}
λ λ --> 2 D λ λ --> 2 D + 2 G 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}}
E 2 D 2 G 2 D − − --> 1 {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1}
λ λ --> 2 D 2 K 2 D − − --> λ λ --> 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}}
K 2 D − − --> G 2 D K 2 D + G 2 D {\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}}
2 K 2 D − − --> E 2 D 2 K 2 D {\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}}
M 2 D − − --> 2 G 2 D M 2 D {\displaystyle {\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}}
M 2 D [ N / m ] = {\displaystyle M_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}
λ λ --> 2 D + 2 G 2 D {\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}
4 G 2 D 2 4 G 2 D − − --> E 2 D {\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}
2 K 2 D − − --> λ λ --> 2 D {\displaystyle 2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}
K 2 D + G 2 D {\displaystyle K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}
λ λ --> 2 D ν ν --> 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}}
2 G 2 D 1 − − --> ν ν --> 2 D {\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}}
E 2 D ( 1 − − --> ν ν --> 2 D ) ( 1 + ν ν --> 2 D ) {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1-\nu _{\mathrm {2D} })(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}}
2 K 2 D 1 + ν ν --> 2 D {\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}}
4 K 2 D 2 4 K 2 D − − --> E 2 D {\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}}
La viscoélasticité d'un corps dépend de sa température et du temps. On note en général :
On étudiera alors qu'une de ses deux variables à la fois :
Ici on étudiera la relaxation qui est un phénomène réversible et détectable, se traduisant par une différence de mobilité moléculaire. Il ne faut pas la confondre avec la transition qui est un changement d'état physique (fusion, cristallisation, transition vitreuse, etc.).
Selon Ludwig Boltzmann, l'état de contrainte ou de déformation d'un corps viscoélastique est fonction de toutes les sollicitations appliquées au matériau.
Chaque nouvelle sollicitation contribue de manière indépendante à l'état final.
Le matériau peut être modélisé en mécanique par un ressort. Il n'y a aucune dissipation d'énergie. En régime dynamique, l'angle de phase entre la contrainte dynamique et la déformation dynamique du corps soumis à une oscillation sinusoïdale est de 0°.
où η η --> {\displaystyle \eta } est la constante de Newton.
On a alors ε ε --> = τ τ --> 0 η η --> t + ε ε --> 0 {\displaystyle \varepsilon ={\tau _{0} \over \eta }t+\varepsilon _{0}} , ici ε ε --> 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} représente la déformation initiale, donc nulle.
On obtient alors ε ε --> = τ τ --> 0 η η --> t {\displaystyle \varepsilon ={\tau _{0} \over \eta }t} .
L'énergie mécanique est totalement dissipée (sous forme de chaleur). Le modèle équivalent en mécanique est celui d'un amortisseur. En régime dynamique, l'angle de phase entre la contrainte dynamique et la déformation dynamique du corps soumis à une oscillation sinusoïdale est de 90°.
Afin de représenter le comportement viscoélastique d'un matériau, on peut combiner ces deux modèles élémentaires.
Le modèle de Maxwell rend compte du comportement viscoélastique d'un matériau mais pas de son comportement viscoplastique.
Dans ce modèle on a les trois composantes :
L'analyse mécanique dynamique (AMD), ou spectrométrie mécanique dynamique, est une méthode de mesure de la viscoélasticité. Cette méthode d'analyse thermique permet l'étude et la caractérisation des propriétés mécaniques de matériaux viscoélastiques, tels les polymères.
![{\displaystyle K\,[\mathrm {Pa} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b3ab31b3a3865235dccbc488812ff4f37eebbab)
![{\displaystyle E\,[\mathrm {Pa} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/750cbb7f7d67f888ecb19e183ac4d7410006ef9b)
![{\displaystyle \lambda \,[\mathrm {Pa} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feb97a3834f075f32114f08046be6251bd037800)
![{\displaystyle G\,[\mathrm {Pa} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2326ec29a9bfa73a5703f0571334e02c57bdd833)
![{\displaystyle \nu \,[1]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31963444a16a4993d1f3289b9a5e86d2a224934)
![{\displaystyle M\,[\mathrm {Pa} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49c2ea87a079fbcc6987591a1669001a144e61ed)
![{\displaystyle K_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e5562fda79e2283d607f220ec8aab1a0fc9ee74)
![{\displaystyle E_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4026a07ee80c1281e875b1bbed75cd5687a2b13)
![{\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19e94c73fca89904175ad30491fc448f274b8f2c)
![{\displaystyle G_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aefa2eb44d967723c47e26dd09918f1850d553f)
![{\displaystyle \nu _{\mathrm {2D} }\,[1]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c5fcb0958432c6617c834d1e36885be1790ac09)
![{\displaystyle M_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3a0381f833f359a1b0c12a557d1c4455a05d0b7)
